Utilize resíduos para calcular a seguinte integral real:
, com
e
positivos.
Passo 1
Na integral
vamos aplicar o método dos resíduos. O conteúdo principal envolve integração de funções racionais multiplicadas por exponenciais complexas, uso de contornos fechados e o teorema dos resíduos.
Passo 2
Para tratar o cosseno, usamos a relação
e definimos a integral em toda a reta real
Como a função é par, temos
portanto
Passo 3
Como escolhemos fechar o contorno pelo semicírculo no semiplano superior e
, o lema de Jordan garante que a contribuição do arco tende a zero quando o raio vai a infinito. Assim, restam apenas a integral real e a soma dos resíduos no interior do contorno.
Passo 4
A única singularidade no semiplano superior é o polo simples
. A função é
o resíduo em
é
Passo 5
Pelo teorema dos resíduos,
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