Utilize resíduos para calcular a seguinte integral real:
integral0^infty cos a xx^2+b^2 d x, com a e b positivos.

Passo 1

Na integral
I=integral0^inftycos(a x)x^2+b^2,dx,
vamos aplicar o método dos resíduos. O conteúdo principal envolve integração de funções racionais multiplicadas por exponenciais complexas, uso de contornos fechados e o teorema dos resíduos.

Passo 2

Para tratar o cosseno, usamos a relação
cos(a x)=Ree^i a x
e definimos a integral em toda a reta real
J=integral-infty^inftye^i a xx^2+b^2,dx
Como a função é par, temos
Re(J)=integral-infty^inftycos(a x)x^2+b^2,dx=2I
portanto
I=tfrac12Re(J)

Passo 3

Como escolhemos fechar o contorno pelo semicírculo no semiplano superior e a>0, o lema de Jordan garante que a contribuição do arco tende a zero quando o raio vai a infinito. Assim, restam apenas a integral real e a soma dos resíduos no interior do contorno.

Passo 4

A única singularidade no semiplano superior é o polo simples z=i b. A função é
f(z)=e^i a zz^2+b^2=e^i a z(z-i b)(z+i b),
o resíduo em z=i b é
Res(f,i b)=limzto i b(z-i b)f(z)=e^i a (i b)(i b+i b)=e^-a b2 i b

Passo 5

Pelo teorema dos resíduos,
J=2pi icdote^-a b2 i b=pi e^-a bb
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I=tfrac12Re(J)=tfrac12pi e^-a bb=pi2be^-a b

Resposta

pi2be^-a b

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