Utilize resíduos para calcular a seguinte integral real:
integral-infty^infty x cos xx^2-2 x+10 d x.

Passo 1

O enunciado pede
I = integral-infty^infty xcos xx^2-2x+10,dx
Vamos usar integração no plano complexo e o método dos resíduos. Precisamos usar cos x = Re(e^ix), escolher uma curva de integração adequada (meia circunferência no semiplano superior) e aplicar o Lema de Jordan para anular o arco.

Passo 2

Expressamos
I = Regl(integral-infty^inftyx e^ixx^2-2x+10,dxgr)
Definimos a função de variável complexa
f(z) = z,e^izz^2-2z+10
Integramos f(z) ao longo da reta real de -R a R e fechamos no semiplano superior.

Passo 3

O denominador anula-se em
z^2-2z+10=0 Longrightarrow z = 1pm 3i
Destes, apenas z0=1+3i fica no semiplano superior. Pelo Lema de Jordan, o arco de raio Rtoinfty não contribui, logo
integral-infty^infty z,e^izz^2-2z+10,dz =2pi i;Resl(f,z0r)

Passo 4

Calculamos o resíduo em z0=1+3i por
Res(f,z0) =limzto z0(z- z0),z,e^izz^2-2z+10 =z0,e^iz0(2z-2)l|z=z0 =z0,e^iz02z0-2
Como 2z0-2=2(1+3i)-2=6i, fica
Res(f,z0) =(1+3i)e^i(1+3i)6i

Passo 5

Logo a integral complexa vale
integral-infty^inftyz,e^izz^2-2z+10,dz =2pi icdot(1+3i)e^i(1+3i)6i =pi3,(1+3i),e^i(1+3i)
Assim
I =Rel(tfracpi3(1+3i)e^i(1+3i)r)

Passo 6

Calculamos
(1+3i)e^i(1+3i) =e^-3(1+3i)e^i =e^-3l[(cos1-3sin1)+i(sin1+3cos1)r]
A parte real é e^-3(cos1-3sin1). Portanto
I=pi3,e^-3l(cos1-3sin1r)

Resposta

boxed integral-infty^infty xcos xx^2-2x+10,dx =pi3,e^-3,l(cos1-3sin1r)

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