Utilize resíduos para calcular a seguinte integral real: .
Passo 1
O enunciado pede
Vamos usar integração no plano complexo e o método dos resíduos. Precisamos usar , escolher uma curva de integração adequada (meia circunferência no semiplano superior) e aplicar o Lema de Jordan para anular o arco.
Passo 2
Expressamos
Definimos a função de variável complexa
Integramos ao longo da reta real de a e fechamos no semiplano superior.
Passo 3
O denominador anula-se em
Destes, apenas fica no semiplano superior. Pelo Lema de Jordan, o arco de raio não contribui, logo