Utilize resíduos para calcular as seguintes integrais reais:
(d)
.
(d)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e o que temos à disposição.
- O enunciado pede calcular a integral impropria
onde
(isto é,
é um inteiro positivo).
- Informação importante que usaremos:
- A função integranda é
, que é uma função racional e é par (ou seja, ). - Como a função é par, a integral sobre
é o dobro da integral sobre : - Pretende-se usar o método dos resíduos (teorema dos resíduos) para avaliar a integral sobre a reta real e, daí, obter a integral desejada sobre
.
- A função integranda é
Passo 2
Plano de ataque (sem ainda resolver): usar um contorno que contenha o eixo real e a semicircunferência superior de raio
e aplicar o teorema dos resíduos à função racional
Explicação do porquê isso funciona (intuitiva e didática):
-
é meromorfa no plano complexo com polos somente onde , isto é, em e . - Se integrarmos
ao longo do contorno que é a reta real de a mais a semicircunferência superior no sentido positivo, pelo teorema dos resíduos o integral sobre o contorno vale vezes a soma dos resíduos de dentro do contorno (no semiplano superior o único polo é ). - Para levar
precisamos checar que a contribuição da semicircunferência tende a zero — isso acontece porque para grande, decai como e o comprimento da semicircunferência é , logo o produto tende a zero quando . - Assim, no limite
obtemos
Depois dividiremos por
para obter a integral de
a
.
Passo 3
Lembrete (fórmula do resíduo para polo de ordem
): se
tem um polo de ordem
em
, então
No nosso caso
e
é um polo de ordem
. Portanto, aplicando a fórmula,
Passo 4
Vamos calcular a derivada de ordem
de
de modo geral (aqui
). Há uma fórmula prática para derivadas de potências negativas inteiras:
válida para inteiros
e
. Explicação rápida dessa fórmula:
- A primeira derivada dá um fator
e aumenta o expoente em no denominador; aplicando repetidamente, os coeficientes formam o produto e aparece o sinal alternado .
Agora apliquei com
e
:
Tomando o limite
obtemos
Passo 5
Substituindo na expressão do resíduo:
Passo 6
Agora usamos o teorema dos resíduos para obter a integral sobre a reta inteira. Pela razão do contorno e pelo passo anterior:
Vamos simplificar a parte complexa
e os fatores de
.
Primeiro escrevemos
Como
, tem-se
(note que
porque
e seu inverso é ele próprio). Logo
Substituindo isso na expressão do integral:
Passo 7
Simplificamos os fatores de sinais e de
:
- O produto de sinais
. - O produto
.
Assim a parte
fica
Portanto toda a expressão simplifica para
Passo 8
Finalmente, lembrando que a integral que queremos é a metade da integral sobre
(porque a função é par),
Isso dá
Podemos reescrever
, portanto uma forma compacta é