Utilize resíduos para calcular
(vii)
;
(vii)
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando o método dos resíduos. O conteúdo principal aqui é transformar funções trigonométricas em funções racionais de
via substituição de Euler
e depois aplicar o teorema dos resíduos para avaliar integrais de linha no círculo unitário.
Passo 2
Começamos separando a integral em
e
. Para
, usamos
e
, obtendo
Passo 3
Expandimos o integrando de
:
Como não há termo
nesse desenvolvimento, a integral de contorno vale zero por não existir resíduo dentro do círculo. Logo
.
Passo 4
Para
, usamos
e similarmente
. Fica
Passo 5
Agora expandimos
De novo não aparece termo
, então o resíduo é zero e
.
Passo 6
Somando os dois resultados temos
Resposta
0