Utilize resíduos para calcular
(vii) integral0^2 pi 2 cos ^3 t+4 sen^5 t d t;

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral0^2pil(2cos^3t + 4sin^5tr),dt usando o método dos resíduos. O conteúdo principal aqui é transformar funções trigonométricas em funções racionais de z via substituição de Euler z=e^it e depois aplicar o teorema dos resíduos para avaliar integrais de linha no círculo unitário.

Passo 2

Começamos separando a integral em I1 = 2integral0^2picos^3t,dt e I2 = 4integral0^2pisin^5t,dt. Para I1, usamos cos t=tfracz+z^-12 e dt=tfracdziz, obtendo
I1 = 2oint|z|=1 l(z+z^-12r)^3iz,dz = 14ioint|z|=1(z+z^-1)^3,z^-1,dz

Passo 3

Expandimos o integrando de I1:
(z+z^-1)^3 = z^3 +3z +3z^-1+z^-3,
(z+z^-1)^3,z^-1 = z^2 +3 +3z^-2 +z^-4
Como não há termo z^-1 nesse desenvolvimento, a integral de contorno vale zero por não existir resíduo dentro do círculo. Logo I1=0.

Passo 4

Para I2, usamos sin t=tfracz-z^-12i e similarmente dt=tfracdziz. Fica
I2 = 4oint|z|=1 l(z-z^-12ir)^5iz,dz = -18oint|z|=1(z-z^-1)^5,z^-1,dz

Passo 5

Agora expandimos
(z-z^-1)^5 = z^5 -5z^3 +10z -10z^-1 +5z^-3 -z^-5,
(z-z^-1)^5,z^-1 = z^4 -5z^2 +10 -10z^-2 +5z^-4 -z^-6
De novo não aparece termo z^-1, então o resíduo é zero e I2=0.

Passo 6

Somando os dois resultados temos
integral0^2pil(2cos^3t + 4sin^5tr),dt = I1 + I2 = 0 + 0 = 0

Resposta

0

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