Utilize resíduos para calcular
(ii) integral-infty^infty 1(x^4+1) d x;

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral de 1x^4 + 1 de -infty até +infty. Esse tipo de problema cai no tema de Cálculo Complexo, mais especificamente no uso de resíduos para resolver integrais. Vamos precisar entender os polos da função no plano complexo e aplicar o Teorema dos Resíduos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pólos da função 1x^4 + 1. Os pólos são os valores de x que tornam o denominador zero, ou seja, as raízes da equação x^4 + 1 = 0. Resolvendo, temos:
x^4 = -1 implies x = pm raiz22 pm raiz22i
Então, os pólos são: x = e^ipi/4, x = e^i3pi/4, x = e^i5pi/4 e x = e^i7pi/4.

Passo 3

Agora, vamos usar o Teorema dos Resíduos para calcular a integral. Para isso, fechamos o caminho de integração no semiplano superior e somamos os resíduos dos pólos que ficam nesse semiplano. Os pólos no semiplano superior são e^ipi/4 e e^i3pi/4.
O resíduo de uma função f(z) em um pólo simples z0 é dado por:
Res(f, z0) = limz to z0 (z - z0)f(z)
Calculando os resíduos para nossos pólos:
Para z = e^ipi/4:
Res(1z^4 + 1, e^ipi/4) = 14z^3g|z = e^ipi/4 = 14(e^ipi/4)^3 = 14e^i3pi/4 = 14(raiz22 - raiz22i)
Para z = e^i3pi/4:
Res(1z^4 + 1, e^i3pi/4) = 14z^3g|z = e^i3pi/4 = 14(e^i3pi/4)^3 = 14e^i9pi/4 = 14(raiz22 + raiz22i)

Passo 4

Somamos os resíduos encontrados e aplicamos o Teorema dos Resíduos, que diz que a integral é igual a 2pi i vezes a soma dos resíduos:
integral-infty^infty 1x^4 + 1 dx = 2pi i (14(raiz22 - raiz22i) + 14(raiz22 + raiz22i))
Simplificando:
= 2pi i (raiz24) = piraiz2

Resposta

A integral integral-infty^infty 1x^4+1 dx é igual a piraiz2.

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