Utilize seu SCA para calcular as integrais iteradas
Passo 1
O enunciado pede pra gente calcular duas integrais iteradas sobre o quadrado $[0,1]\times[0,1]$ do integrando $(x - y)/(x + y)^3$. O conteúdo principal aqui é integração iterada de funções racionais e troca de ordem de integração (teorema de Fubini, que só vale se a integral for absolutamente convergente). Como essa função não é absolutamente integrável próximo de $x+y=0$, as integrais iteradas podem dar resultados diferentes.
Passo 2
Vamos calcular primeiro \(
I_1=\int_{0}{1}\int_{0}{1}\frac{x-y}{(x+y)^{3}},d y,d x.
\
Começamos pela integral interna em $(y)$. Fazemos a substituição $u=x+y$, então $du=dy$ e quando $y=0$ temos $u=x$, e quando $y=1$ temos $u=x+1$. O numerador fica $x-y=x-(u-x)=2x-u$ e o denominador $u^3$. Assim:
\
J(x)=\int_{0}{1}\frac{x-y}{(x+y)3},dy=\int_{u=x}{x+1}\frac{2x-u}{u3},du=2x\int_{x}{x+1}u{-3}du-\int_{x}{x+1}u{-2}du.
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I_1=\int_{0}{1}\int_{0}{1}\frac{x-y}{(x+y)^{3}},d y,d x.
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Começamos pela integral interna em $(y)$. Fazemos a substituição $u=x+y$, então $du=dy$ e quando $y=0$ temos $u=x$, e quando $y=1$ temos $u=x+1$. O numerador fica $x-y=x-(u-x)=2x-u$ e o denominador $u^3$. Assim:
\
J(x)=\int_{0}{1}\frac{x-y}{(x+y)3},dy=\int_{u=x}{x+1}\frac{2x-u}{u3},du=2x\int_{x}{x+1}u{-3}du-\int_{x}{x+1}u{-2}du.
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Passo 3
Avaliando essas primitivas temos:
\
\
Passo 4
Para terminar $I_1$ calculamos:
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[
\int_{0}{1}\frac{1}{(x+1)2}dx=\Bigl[-\frac{1}{x+1}\Bigr]_{0}^{1}=-\frac{1}{2}+1=\frac12.
\
\int_{0}{1}\frac{1}{(x+1)2}dx=\Bigl[-\frac{1}{x+1}\Bigr]_{0}^{1}=-\frac{1}{2}+1=\frac12.
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Passo 5
Agora fazemos \(I_2=\int_{0}{1}\int_{0}{1}\frac{x-y}{(x+y)^3}dx,dy.\
Pela simetria do cálculo, trocamos o papel de $(x)$ e $(y)$. Na integral interna em $(x)$ usamos $u=x+y,$ $du=dx$, de $x=0$ a $x=1$ temos $u=y$ a $u=y+1$. O integrando vira $(u-2y)/u3=1/u2-2y/u^3$. Assim:
\
K(y)=\int_{0}{1}\frac{x-y}{(x+y)3}dx=\int_{u=y}{y+1}\Bigl(u{-2}-2y,u^{-3}\Bigr)du.
\
Pela simetria do cálculo, trocamos o papel de $(x)$ e $(y)$. Na integral interna em $(x)$ usamos $u=x+y,$ $du=dx$, de $x=0$ a $x=1$ temos $u=y$ a $u=y+1$. O integrando vira $(u-2y)/u3=1/u2-2y/u^3$. Assim:
\
K(y)=\int_{0}{1}\frac{x-y}{(x+y)3}dx=\int_{u=y}{y+1}\Bigl(u{-2}-2y,u^{-3}\Bigr)du.
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Passo 6
Calculando as primitivas:
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Passo 7
E finalmente:
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[
I_2=-\Bigl[-\frac{1}{y+1}\Bigr]_{0}^{1}=-( -\tfrac12+1)=-\tfrac12.
\
Assim vemos que, por falta de absoluta convergência, as integrais iteradas dão resultados diferentes.
I_2=-\Bigl[-\frac{1}{y+1}\Bigr]_{0}^{1}=-( -\tfrac12+1)=-\tfrac12.
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Assim vemos que, por falta de absoluta convergência, as integrais iteradas dão resultados diferentes.