Utilize a seguinte fórmula k(t)=|r^prime(t) times r^prime prime(t)||r^prime(t)|^3 para encontrar a curvatura.
r(t)=t^3 jmath+t^2 k

Passo 1

Resumo do enunciado: a questão pede para calcular a curvatura k(t) de uma curva dada por boldsymbol r(t) = t^3, j + t^2, k, usando a fórmula
k(t)=|boldsymbol r'(t)timesboldsymbol r''(t)||boldsymbol r'(t)|^3
Vamos precisar de derivadas, produto vetorial e normas.

Passo 2

Calcular as derivadas de boldsymbol r(t):
boldsymbol r'(t)=ddt(0,,t^3,,t^2)=(0,,3t^2,,2t),
boldsymbol r''(t)=ddt(0,,3t^2,,2t)=(0,,6t,,2)
Aqui aplicamos a definição de derivada de cada componente.

Passo 3

Calcular o produto vetorial boldsymbol r'(t)timesboldsymbol r''(t):
boldsymbol r'(t)timesboldsymbol r''(t)= i & j & k 0 & 3t^2 & 2t 0 & 6t & 2 = i,(3t^2cdot2-2tcdot6t)- j,(0-0)+ k,(0-0) =-6t^2, i
O resto dos componentes é zero pelo cálculo do determinante.

Passo 4

Calcular as normas necessárias:
Norma de boldsymbol r'(t):
|boldsymbol r'(t)|=raiz(3t^2)^2+(2t)^2=raiz9t^4+4t^2=|t|raiz9t^2+4
Norma do produto vetorial:
|boldsymbol r'(t)timesboldsymbol r''(t)|=|-6t^2, i|=6t^2

Passo 5

Substituir na fórmula de curvatura:
k(t)=|boldsymbol r'(t)timesboldsymbol r''(t)||boldsymbol r'(t)|^3 =6t^2l(|t|raiz9t^2+4r)^3

Passo 6

Simplificar a expressão:
Como (|t|raiz9t^2+4)^3=|t|^3(9t^2+4)^3/2 e t^2/|t|^3=1/|t|, temos
k(t)=6|t|,(9t^2+4)^3/2

Resposta

k(t)=dfrac6|t|,(9t^2+4)^3/2

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