Utilize a seguinte fórmula
para encontrar a curvatura.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a curvatura de uma curva espacial $\boldsymbol r(t)=t,\vec\imath+t,\vec\jmath+(1+t^2),\vec k$ usando a fórmula \k(t)=\frac{\|\boldsymbol r’(t)\times\boldsymbol r’’(t)\|}{\|\boldsymbol r’(t)\|^3}\. O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas de vetores, produto vetorial e norma de vetores.
Passo 2
Primeiro, calculamos as derivadas de \boldsymbol r(t)\ componente a componente. Temos \boldsymbol r’(t)=\bigl(1,1,2t\bigr)\ e \boldsymbol r’’(t)=\bigl(0,0,2\bigr)\. Isso vem da regra de derivar cada componente separadamente.
Passo 3
Em seguida, usamos a definição de produto vetorial entre \boldsymbol r’(t)\ e \boldsymbol r’’(t)\:
Calculando o determinante, obtemos
Passo 4
Agora calculamos a norma desse vetor:
Passo 5
Também precisamos da norma de \boldsymbol r’(t)\:
Passo 6
Por fim, substituímos na fórmula da curvatura:
Para simplificar, note que \(2+4t2){3/2}=2{3/2}(1+2t2){3/2}=2\sqrt2\,(1+2t2)^{3/2}\,.\ Assim
Resposta
$k(t)=\dfrac{1}{(1+2t2){3/2}}$