Utilize a seguinte fórmula k(t)=|r^prime(t) times r^prime prime(t)||r^prime(t)|^3 para encontrar a curvatura.
r(t)=t imath+t jmath+(1+t^2) k

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a curvatura de uma curva espacial $\boldsymbol r(t)=t,\vec\imath+t,\vec\jmath+(1+t^2),\vec k$ usando a fórmula \k(t)=\frac{\|\boldsymbol r’(t)\times\boldsymbol r’’(t)\|}{\|\boldsymbol r’(t)\|^3}\. O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas de vetores, produto vetorial e norma de vetores.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas de \boldsymbol r(t)\ componente a componente. Temos \boldsymbol r’(t)=\bigl(1,1,2t\bigr)\ e \boldsymbol r’’(t)=\bigl(0,0,2\bigr)\. Isso vem da regra de derivar cada componente separadamente.

Passo 3

Em seguida, usamos a definição de produto vetorial entre \boldsymbol r’(t)\ e \boldsymbol r’’(t)\:
Calculando o determinante, obtemos
boldsymbol r'(t)timesboldsymbol r''(t)=vecimath & vecjmath & vec k 1 & 1 & 2t 0 & 0 & 2

Passo 4

Agora calculamos a norma desse vetor:
|boldsymbol r'(t)timesboldsymbol r''(t)|=raiz2^2+(-2)^2+0^2=raiz8=2raiz2

Passo 5

Também precisamos da norma de \boldsymbol r’(t)\:
|boldsymbol r'(t)|=raiz1^2+1^2+(2t)^2=raiz2+4t^2

Passo 6

Por fim, substituímos na fórmula da curvatura:
k(t)=2raiz2(raiz2+4t^2)^3=2raiz2(2+4t^2)^3/2
Para simplificar, note que \(2+4t2){3/2}=2{3/2}(1+2t2){3/2}=2\sqrt2\,(1+2t2)^{3/2}\,.\ Assim
k(t)=2raiz22raiz2,(1+2t^2)^3/2=1(1+2t^2)^3/2

Resposta

$k(t)=\dfrac{1}{(1+2t2){3/2}}$

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