Utilize a seguinte fórmula k(t)=|r^prime(t) times r^prime prime(t)||r^prime(t)|^3 para encontrar a curvatura.
r(t)=3 t imath+4 sen t jmath+4 cos t k

Passo 1

O enunciado pede para calcular a curvatura de uma curva no espaço definida por r(t)=3t,vecimath+4sin t,vecjmath+4cos t,vec k, usando a fórmula k(t)=|r'(t)timesr''(t)||r'(t)|^3. Vamos precisar de derivadas da posição, produto vetorial e normas.

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada de r(t):
r'(t)=ddt(3t,;4sin t,;4cos t)=(3,;4cos t,;-4sin t)

Passo 3

Em seguida, calculamos a segunda derivada:
r''(t)=ddt(3,;4cos t,;-4sin t)=(0,;-4sin t,;-4cos t)

Passo 4

Agora fazemos o produto vetorial r'(t)timesr''(t). Montamos o determinante:
r'(t)timesr''(t)= vecimath & vecjmath & vec k 3 & 4cos t & -4sin t 0 & -4sin t & -4cos t =(-16,;12cos t,;-12sin t)

Passo 5

Calculamos a norma do produto vetorial. Note que cos^2t+sin^2t=1:
|r'(t)timesr''(t)|=raiz(-16)^2+(12cos t)^2+(-12sin t)^2 =raiz256+144(cos^2t+sin^2t)=raiz400=20

Passo 6

Também precisamos da norma de r'(t):
|r'(t)|=raiz3^2+(4cos t)^2+(-4sin t)^2 =raiz9+16(cos^2t+sin^2t)=raiz25=5

Passo 7

Por fim, aplicamos a fórmula da curvatura:
k(t)=|r'(t)timesr''(t)||r'(t)|^3 =205^3 =20125 =425

Resposta

k(t)=tfrac425

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