Determine a área da superfície.
a) A parte do paraboloide hiperbólico z=y^2-x^2 que está entre os cilindros x^2+y^2=1 e x^2+y^2= 4. pi6(17 raiz17-5 raiz5)

Passo 1

O enunciado pede a área da parte do paraboloide hiperbólico z = y² – x² que fica entre os cilindros x² + y² = 1 e x² + y² = 4. O conteúdo é cálculo de área de superfície de um gráfico z = f(x,y), e vamos precisar da fórmula A = integral duplaD raiz1 + fx^2 + fy^2,dA e de coordenadas polares.

Passo 2

Começamos calculando as derivadas parciais de z = y² – x²: fx = partial z/partial x = -2x e fy = partial z/partial y = 2y. Então o integrando fica raiz1 + fx^2 + fy^2 = raiz1 + 4x^2 + 4y^2 = raiz1 + 4r^2, onde usamos r^2 = x^2 + y^2.

Passo 3

Em coordenadas polares a área do domínio é dA = r,dr,dtheta com 1 <= r <= 2 e 0 <= theta <= 2pi. Assim a integral da área é
A = integral0^2pi integral1^2 raiz1 + 4r^2,r,dr,dtheta

Passo 4

Para resolver a integral em r fazemos a substituição u = 1 + 4r^2, então du = 8r,dr e r,dr = du/8. Logo
integral rraiz1 + 4r^2,dr = integral u^1/28,du = u^3/212 + C

Passo 5

Avaliando de r = 1 até r = 2:
l[(1 + 4r^2)^3/212r]1^2 = 112l(17^3/2 - 5^3/2r) = 112l(17raiz17 - 5raiz5r)

Passo 6

Agora faltam só os ângulos: multiplicamos por integral0^2pi dtheta = 2pi. Portanto
A = 2pi cdot 112l(17raiz17 - 5raiz5r) = pi6l(17raiz17 - 5raiz5r)

Resposta

pi6l(17raiz17 - 5raiz5r)

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