Determine a área da superfície.
a) A parte do paraboloide hiperbólico
que está entre os cilindros
e
4.
a) A parte do paraboloide hiperbólico
Passo 1
O enunciado pede a área da parte do paraboloide hiperbólico z = y² – x² que fica entre os cilindros x² + y² = 1 e x² + y² = 4. O conteúdo é cálculo de área de superfície de um gráfico z = f(x,y), e vamos precisar da fórmula
e de coordenadas polares.
Passo 2
Começamos calculando as derivadas parciais de z = y² – x²:
e
. Então o integrando fica
, onde usamos
.
Passo 3
Em coordenadas polares a área do domínio é
com
e
. Assim a integral da área é
Passo 4
Para resolver a integral em r fazemos a substituição
, então
e
. Logo
Passo 5
Avaliando de r = 1 até r = 2:
Passo 6
Agora faltam só os ângulos: multiplicamos por
. Portanto