Utilize a série de Fourier da função para encontrar a soma da série
f(x)=c1,-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma função $ f(x) $ definida por partes e precisa usar a série de Fourier dessa função para encontrar a soma da série infinita $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1){n}-1}{n{2}} $. Vamos precisar entender um pouquinho sobre séries de Fourier e como elas se relacionam com somas de séries como essa. Não se preocupe, vamos explicar tudo passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Fourier. A série de Fourier de uma função periódica é uma maneira de expressar essa função como a soma de funções senoidais (seno e cosseno) com diferentes frequências e amplitudes. Para funções definidas em um intervalo específico, como a nossa, podemos expandi-las em séries de Fourier para facilitar análises e cálculos.

Passo 3

Dada a função $ f(x) $, que é definida por:
f(x)
Vamos considerar que essa função é periódica com período $ 2 $. Nosso objetivo é encontrar a série de Fourier dessa função.

Passo 4

A série de Fourier para uma função par no intervalo -L a L é dada por:
f(x) = a02 + sumn=1^infty [ an cos( npi xL ) + bn sin( npi xL ) ]
No nosso caso, como a função $ f(x) $ não é par nem ímpar, teremos tanto termos de cosseno ($ a_n f(x) b_n $).

Passo 5

Vamos calcular os coeficientes $ a_n $ e $ b_n $ usando as fórmulas:
an
bn
Como nosso período $ 2L = 2 $, temos $ L = 1 $. Portanto, as integrais ficam de an = 1L integral-L^L f(x) cos( npi xL ) dx a bn = 1L integral-L^L f(x) sin( npi xL ) dx .

Passo 6

Vamos calcular $ a_n $:
an
A primeira integral:
an = integral-1^0 1 cdot cos(npi x) dx + integral0^1 x cdot cos(npi x) dx
Já que $ \sin(n\pi) = 0 $ para todo inteiro $ n $.
Agora, a segunda integral:
integral-1^0 cos(npi x) dx = [ sin(npi x)npi ]-1^0 = sin(0)npi - sin(-npi)npi = 0 - 0 = 0
Usando integração por partes, temos:
sin(npi) = 0
n
Portanto:
integral0^1 x cos(npi x) dx
u = x Rightarrow du = dx
Avaliando de dv = cos(npi x) dx Rightarrow v = sin(npi x)npi a integral x cos(npi x) dx = x cdot sin(npi x)npi - integral sin(npi x)npi dx :
= x sin(npi x)npi + cos(npi x)(npi)^2 + C
0
Então, o coeficiente $ a_n $ é:
1

Passo 7

Agora, vamos calcular $ b_n $:
bn
A primeira integral:
bn = integral-1^0 1 cdot sin(npi x) dx + integral0^1 x cdot sin(npi x) dx
integral-1^0 sin(npi x) dx = [ -cos(npi x)npi ]-1^0 = -cos(0)npi + cos(-npi)npi = -1npi + (-1)^nnpi
A segunda integral:
= (-1)^n - 1npi
Usando integração por partes novamente:
integral0^1 x sin(npi x) dx
u = x Rightarrow du = dx
Então:
dv = sin(npi x) dx Rightarrow v = -cos(npi x)npi
integral x sin(npi x) dx = -x cos(npi x)npi + integral cos(npi x)npi dx
Avaliando de = -x cos(npi x)npi + sin(npi x)(npi)^2 + C a 0:
1
[ -x cos(npi x)npi + sin(npi x)(npi)^2 ]0^1 = ( -cos(npi)npi + sin(npi)(npi)^2 ) - ( 0 + 0 )
Portanto, o coeficiente $ b_n $ é:
= -(-1)^nnpi + 0 = -(-1)^nnpi

Passo 8

Agora que temos os coeficientes $ a_n $ e $ b_n $, podemos escrever a série de Fourier da função $ f(x) $:
an
Para simplificar, vamos considerar o valor médio $ a_0 $. Calculando:
bn
Então, $ \frac{a_0}{2} = \frac{3}{4} $.

Passo 9

Agora, para encontrar a soma da série $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1){n}-1}{n{2}} $, vamos considerar $ x = 0 $ na série de Fourier. Substituindo $ x = 0 $:
sumn=1^infty (-1)^n-1n^2
x = 0
x = 0
Sabemos que $ f(0) $ é igual a $ 1 $, já que de acordo com a definição da função:
f(0) = 34 + sumn=1^infty ( (-1)^n - 1(npi)^2 cos(0) - 1npi sin(0) )
f(0) = 34 + sumn=1^infty (-1)^n - 1(npi)^2 cdot 1 - 0
No entanto, para a continuidade da série, consideramos o valor médio nos pontos de descontinuidade, então $ f(0) = \frac{1 + 0}{2} = \frac{1}{2} $.

Passo 10

Então, temos:
12 = 34 + 1pi^2 sumn=1^infty (-1)^n - 1n^2
Agora, vamos isolar a soma que queremos encontrar:
12 - 34 = 1pi^2 sumn=1^infty (-1)^n - 1n^2
-14 = 1pi^2 sumn=1^infty (-1)^n - 1n^2
sumn=1^infty (-1)^n - 1n^2 = -pi^24

Resposta

A soma da série $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1){n}-1}{n{2}} $ é igual a $ -\frac{\pi^{2}}{4} $.

Exercícios relacionados