Utilize a série de Fourier da função para encontrar a soma da série
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma função $ f(x) $ definida por partes e precisa usar a série de Fourier dessa função para encontrar a soma da série infinita $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1){n}-1}{n{2}} $. Vamos precisar entender um pouquinho sobre séries de Fourier e como elas se relacionam com somas de séries como essa. Não se preocupe, vamos explicar tudo passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Fourier. A série de Fourier de uma função periódica é uma maneira de expressar essa função como a soma de funções senoidais (seno e cosseno) com diferentes frequências e amplitudes. Para funções definidas em um intervalo específico, como a nossa, podemos expandi-las em séries de Fourier para facilitar análises e cálculos.
Passo 3
Dada a função $ f(x) $, que é definida por:
Vamos considerar que essa função é periódica com período $ 2 $. Nosso objetivo é encontrar a série de Fourier dessa função.
Passo 4
A série de Fourier para uma função par no intervalo
a
é dada por:
No nosso caso, como a função $ f(x) $ não é par nem ímpar, teremos tanto termos de cosseno ($ a_n
b_n $).
Passo 5
Vamos calcular os coeficientes $ a_n $ e $ b_n $ usando as fórmulas:
Como nosso período $ 2L = 2 $, temos $ L = 1 $. Portanto, as integrais ficam de
a
.
Passo 6
Vamos calcular $ a_n $:
A primeira integral:
Já que $ \sin(n\pi) = 0 $ para todo inteiro $ n $.
Agora, a segunda integral:
Usando integração por partes, temos:
Portanto:
Avaliando de
a
:
Então, o coeficiente $ a_n $ é:
Passo 7
Agora, vamos calcular $ b_n $:
A primeira integral:
A segunda integral:
Usando integração por partes novamente:
Então:
Avaliando de
a
:
Portanto, o coeficiente $ b_n $ é:
Passo 8
Agora que temos os coeficientes $ a_n $ e $ b_n $, podemos escrever a série de Fourier da função $ f(x) $:
Para simplificar, vamos considerar o valor médio $ a_0 $. Calculando:
Então, $ \frac{a_0}{2} = \frac{3}{4} $.
Passo 9
Agora, para encontrar a soma da série $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1){n}-1}{n{2}} $, vamos considerar $ x = 0 $ na série de Fourier. Substituindo $ x = 0 $:
Sabemos que $ f(0) $ é igual a $ 1 $, já que de acordo com a definição da função:
No entanto, para a continuidade da série, consideramos o valor médio nos pontos de descontinuidade, então $ f(0) = \frac{1 + 0}{2} = \frac{1}{2} $.
Passo 10
Então, temos:
Agora, vamos isolar a soma que queremos encontrar:
Resposta
A soma da série $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1){n}-1}{n{2}} $ é igual a $ -\frac{\pi^{2}}{4} $.