Utilize uma série de Maclaurin na tabela 1 para obter a série de Maclaurin da função dada abaixo
Passo 1
O enunciado pede para obter a série de Maclaurin da função
usando uma série da tabela 1.
Informações relevantes que o enunciado dá ou permite usar: a função e a autorização para usar uma série conhecida da tabela (provavelmente a série geométrica/Maclaurin). Não começamos a resolver aqui, apenas identifiquei o que é pedido e o que foi dado.
Informações relevantes que o enunciado dá ou permite usar: a função
Passo 2
O que é uma série de Maclaurin?
A série de Maclaurin é o caso especial da série de Taylor centrada em zero. A definição é: a série de Maclaurin de uma função é
A série de Maclaurin é o caso especial da série de Taylor centrada em zero. A definição é: a série de Maclaurin de uma função
onde
é a
-ésima derivada de
avaliada em
. Cada coeficiente
é o peso da potência
. Essa fórmula nos diz como construir a série por derivadas, mas na prática, se tivermos uma série conhecida (como a geométrica), podemos usar manipulações algébricas para obter a série rapidamente — e é isso que vamos fazer porque o enunciado permite usar a tabela.
Passo 3
A série geométrica conhecida (presente em praticamente toda tabela de séries) é:
Essa é uma série de Maclaurin em
(quando expandimos em torno de 0). Note que aqui a condição de convergência é
. Vamos aplicar essa fórmula escolhendo um
conveniente.
Passo 4
Substituímos
na série geométrica. Como
vira
, isto é
. Fazendo
obtemos:
Agora multiplicamos ambos os lados por
para obter
:
Para expressar a soma começando em potência
, fazemos a troca de índice
. Quando
temos
e quando
tem
. Substituindo
obtém-se:
Escrevendo os primeiros termos explícitos:
Passo 5
Condição de convergência: a série foi derivada a partir de
, que converge para
, ou seja, para
. Nos pontos extremos: em
a série fica
(não converge no sentido usual), e em
fica
(diverge). Portanto o intervalo de convergência é
(aberto).
Passo 6
Checagem rápida pelos primeiros coeficientes usando derivadas (confirmação didática):
Calculamos algumas derivadas de :
Calculamos algumas derivadas de
Os coeficientes da série de Maclaurin são
. Assim:
o que dá a sequência
para os coeficientes, confirmando a forma
para
encontrada antes. É uma verificação prática que você pode fazer na prova se desconfiar do padrão.
Passo 7
Dica de prova: quando vir uma função racional simples, tente reconhecer a forma
(ou manipular para essa forma) e usar a série geométrica da tabela — é quase sempre a via mais rápida. Lembre-se sempre de checar a condição
.