Utilize uma série de Maclaurin na tabela 1 para obter a série de Maclaurin da função dada abaixo
f(x)=\frac{x}{1+x}

Passo 1

O enunciado pede para obter a série de Maclaurin da função \displaystyle f(x)=\frac{x}{1+x} usando uma série da tabela 1.
Informações relevantes que o enunciado dá ou permite usar: a função \displaystyle f(x)=\frac{x}{1+x} e a autorização para usar uma série conhecida da tabela (provavelmente a série geométrica/Maclaurin). Não começamos a resolver aqui, apenas identifiquei o que é pedido e o que foi dado.

Passo 2

O que é uma série de Maclaurin?
A série de Maclaurin é o caso especial da série de Taylor centrada em zero. A definição é: a série de Maclaurin de uma função f é
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,x^{n},
onde f^{(n)}(0) é a n-ésima derivada de f avaliada em 0. Cada coeficiente \frac{f^{(n)}(0)}{n!} é o peso da potência x^{n}. Essa fórmula nos diz como construir a série por derivadas, mas na prática, se tivermos uma série conhecida (como a geométrica), podemos usar manipulações algébricas para obter a série rapidamente — e é isso que vamos fazer porque o enunciado permite usar a tabela.

Passo 3

A série geométrica conhecida (presente em praticamente toda tabela de séries) é:
\frac{1}{1-r}=\sum_{n=0}^{\infty}r^{n}\qquad\text{para }|r|<1.
Essa é uma série de Maclaurin em r (quando expandimos em torno de 0). Note que aqui a condição de convergência é |r|<1. Vamos aplicar essa fórmula escolhendo um r conveniente.

Passo 4

Substituímos r=-x na série geométrica. Como |r|<1 vira |-x|<1, isto é |x|<1. Fazendo r=-x obtemos:
\frac{1}{1-(-x)}=\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-x)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{n}\qquad\text{para }|x|<1.
Agora multiplicamos ambos os lados por x para obter f(x)=\dfrac{x}{1+x}:
\frac{x}{1+x}=x\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{n+1}.
Para expressar a soma começando em potência x^{1}, fazemos a troca de índice k=n+1. Quando n=0 temos k=1 e quando n\to\infty tem k\to\infty. Substituindo n=k-1 obtém-se:
\frac{x}{1+x}=\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{\,k-1}x^{k}.
Escrevendo os primeiros termos explícitos:
\frac{x}{1+x}=x-x^{2}+x^{3}-x^{4}+\cdots\qquad\text{para }|x|<1.

Passo 5

Condição de convergência: a série foi derivada a partir de \frac{1}{1-(-x)}, que converge para |-x|<1, ou seja, para |x|<1. Nos pontos extremos: em x=1 a série fica 1-1+1-1+\cdots (não converge no sentido usual), e em x=-1 fica -1-1-1-\cdots (diverge). Portanto o intervalo de convergência é |x|<1 (aberto).

Passo 6

Checagem rápida pelos primeiros coeficientes usando derivadas (confirmação didática):
Calculamos algumas derivadas de f(x)=\dfrac{x}{1+x}:
f(x)=\frac{x}{1+x},\qquad f(0)=0.
f'(x)=\frac{1}{(1+x)^{2}},\qquad f'(0)=1.
f''(x)=-\frac{2}{(1+x)^{3}},\qquad f''(0)=-2.
f^{(3)}(x)=\frac{6}{(1+x)^{4}},\qquad f^{(3)}(0)=6.
Os coeficientes da série de Maclaurin são \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}. Assim:
a_{0}=\frac{f(0)}{0!}=0,\quad a_{1}=\frac{f'(0)}{1!}=1,\quad a_{2}=\frac{f''(0)}{2!}=-1,\quad a_{3}=\frac{f^{(3)}(0)}{3!}=1,
o que dá a sequência 0,1,-1,1,-1,\dots para os coeficientes, confirmando a forma (-1)^{k-1} para k\ge1 encontrada antes. É uma verificação prática que você pode fazer na prova se desconfiar do padrão.

Passo 7

Dica de prova: quando vir uma função racional simples, tente reconhecer a forma \dfrac{1}{1-r} (ou manipular para essa forma) e usar a série geométrica da tabela — é quase sempre a via mais rápida. Lembre-se sempre de checar a condição |x|<1.

Resposta

\frac{x}{1+x}=\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{\,k-1}x^{k}=x-x^{2}+x^{3}-x^{4}+\cdots\quad\text{para }|x|<1

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