Uma injeção de x mg de um medicamento A e y mg de um medicamento B causam uma resposta de R unidades onde R=x^2 y^3(84-x-y). Que quantidade de cada medicamento causará uma resposta máxima ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma injeção de dois medicamentos, o A e o B, cujas quantidades são x mg e y mg, respectivamente. A resposta do corpo a essa combinação é dada pela função R = x^2 y^3(84 - x - y) . Nosso objetivo é descobrir quais quantidades de cada medicamento ( x e y ) vão causar a resposta máxima ( R máxima).
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente otimização de funções de duas variáveis. Vamos usar derivadas parciais para encontrar os pontos onde a função atinge seu máximo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de resposta para ficar mais fácil de trabalhar:
R(x, y) = x^2 y^3 (84 - x - y)
Queremos encontrar os valores de x e y que maximizam R .

Passo 3

Para achar os pontos de máximo, precisamos calcular as derivadas parciais de R em relação a x e y , e igualá-las a zero.
Primeiro, a derivada parcial em relação a x :
partial Rpartial x = partialpartial x ( x^2 y^3 (84 - x - y) )
Aplicando a regra do produto:
partial Rpartial x = 2x y^3 (84 - x - y) + x^2 y^3 (-1) = y^3 (168x - 2x^2 - 2x y - x^2)
Simplificando:
partial Rpartial x = y^3 (168 - 3x - 2y)
Agora, a derivada parcial em relação a y :
partial Rpartial y = partialpartial y ( x^2 y^3 (84 - x - y) )
Aplicando a regra do produto:
partial Rpartial y = 3x^2 y^2 (84 - x - y) + x^2 y^3 (-1) = x^2 y^2 (252 - 3x - 4y)

Passo 4

Agora, vamos igualar as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos:
Como [y^{3}) e são positivos (já que estamos lidando com quantidades positivas de medicamentos), podemos simplificar as equações:
Agora, temos um sistema de equações lineares:
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a primeira equação da segunda:
Agora, substituímos (y = 42] na primeira equação:

Resposta

Então, para causar uma resposta máxima, as quantidades ideais são:
x = 28 , mg y = 42 , mg

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