Uma injeção de
de um medicamento
e
de um medicamento
causam uma resposta de
unidades onde
. Que quantidade de cada medicamento causará uma resposta máxima ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma injeção de dois medicamentos, o A e o B, cujas quantidades são
mg e
mg, respectivamente. A resposta do corpo a essa combinação é dada pela função
. Nosso objetivo é descobrir quais quantidades de cada medicamento (
e
) vão causar a resposta máxima (
máxima).
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente otimização de funções de duas variáveis. Vamos usar derivadas parciais para encontrar os pontos onde a função atinge seu máximo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de resposta para ficar mais fácil de trabalhar:
Queremos encontrar os valores de
e
que maximizam
.
Passo 3
Para achar os pontos de máximo, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, e igualá-las a zero.
Primeiro, a derivada parcial em relação a
:
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Agora, a derivada parcial em relação a
:
Aplicando a regra do produto:
Passo 4
Agora, vamos igualar as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos:
Como [y^{3}) e
são positivos (já que estamos lidando com quantidades positivas de medicamentos), podemos simplificar as equações:
Agora, temos um sistema de equações lineares:
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a primeira equação da segunda:
Agora, substituímos (y = 42] na primeira equação:
Resposta
Então, para causar uma resposta máxima, as quantidades ideais são: