I. Quando c=0, o valor x=0 é raiz do polinômio.
II. Se x=alpha e x=-alpha são raízes do polinômio e alpha neq 0, então b=0.
III. Se o número complexo x=1-i é raiz do polinômio, então b + ic = 0 .
Assinale a alternativa correta.
a) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
b) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
c) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
d) Somente a afirmativa I é verdadeira.
e) As afirmativas I, II e III são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado trata de um polinômio quadrático monico
p(x)=x^2 + b,x + c
com coeficientes reais, e apresenta três afirmativas sobre quando c=0, sobre raízes simétricas pmalpha e sobre uma raiz complexa 1-i. Vamos verificar cada uma.

Passo 2

Se c=0, então
p(x)=x^2 + b,x = x,(x + b)
Da fatoração vemos que x=0 anula p(x), logo 0 é raiz. Assim, a afirmativa I é verdadeira.

Passo 3

Se x=alpha e x=-alpha (com alphaneq0) são raízes, então
p(x)=(x-alpha)(x+alpha)=x^2 - alpha^2
Comparando com x^2 + b,x + c obtemos b=0 e c=-alpha^2. Portanto, a afirmativa II é verdadeira.

Passo 4

Supondo que 1-i seja raiz e os coeficientes sejam reais, a conjugada 1+i também é raiz, e
p(x)=(x-(1-i))(x-(1+i))=x^2 -2x +2
Desse modo b=-2 e c=2. Então
b + i,c = -2 + 2,i neq 0,
logo a afirmativa III é falsa.

Resposta

a) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.

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