Utilize séries conhecidas, convergentes ou divergentes, juntamente com o Teorema ( 11.20 ) ou (11.21) para determinar se a série é convergente ou divergente; no caso de convergência, determine a soma.
sumn=1^infty(2^-n-2^-3 n)

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série sumn=1^infty(2^-n-2^-3n) usando séries conhecidas e o Teorema 11.20 (série geométrica) e, se convergir, determinar sua soma. Vamos usar o fato de que séries geométricas com razão |r|<1 convergem e sua soma é dada por sumn=1^inftyar^n=dfracar1-r

Passo 2

Reconhecemos que a série dada é a diferença de duas séries geométricas:
sumn=1^infty2^-nesumn=1^infty2^-3n

Passo 3

Para a primeira série, com a=1 e r=tfrac12, aplicamos a fórmula:
sumn=1^infty2^-n=sumn=1^inftyl(tfrac12r)^n=tfrac121-tfrac12=1

Passo 4

Para a segunda, com a=1 e r=tfrac18, temos:
sumn=1^infty2^-3n=sumn=1^inftyl(tfrac18r)^n=tfrac181-tfrac18=17

Passo 5

Subtraindo as duas somas, obtemos
sumn=1^inftyl(2^-n-2^-3nr)=1-17=67

Resposta

A série converge e sua soma é tfrac67.

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