Utilize um software* computacional para graficar o campo de direções das equações diferenciais a seguir, encontre a solução geral em cada caso e grafique também algumas curvas integrais sobre o campo:
Passo 1
O enunciado pede para usar um software computacional para graficar o campo de direções da EDO
, encontrar sua solução geral e desenhar algumas curvas integrais sobre esse campo. O conteúdo envolvido é EDO separável, e vamos precisar usar a técnica de separação de variáveis e integração.
Passo 2
Primeiro, observamos que a EDO pode ser escrita como uma equação separável, isto é, isolamos os termos que contêm
de um lado e os que contêm
do outro:
Passo 3
Em seguida, integramos ambos os lados. Do lado esquerdo, usamos que
. Do lado direito,
. Logo temos:
Passo 4
Finalmente, isolamos
aplicando a função tangente em ambos os lados, obtendo a solução geral da EDO:
Passo 5
Para graficar o campo de direções e algumas curvas integrais, escolhemos valores de constantes
(por exemplo
) e usamos um software como Python com Matplotlib ou outro pacote, traçando as setas do campo de tangentes dadas por
e as curvas
.
Resposta
y(x)=\tan\bigl(\tfrac{x^3}{3}+C\bigr)