Utilize um software* computacional para graficar o campo de direções das equações diferenciais a seguir, encontre a solução geral em cada caso e grafique também algumas curvas integrais sobre o campo:
y^prime(x)=x^2(1+y^2)

Passo 1

O enunciado pede para usar um software computacional para graficar o campo de direções da EDO y'(x)=x^2(1+y^2), encontrar sua solução geral e desenhar algumas curvas integrais sobre esse campo. O conteúdo envolvido é EDO separável, e vamos precisar usar a técnica de separação de variáveis e integração.

Passo 2

Primeiro, observamos que a EDO pode ser escrita como uma equação separável, isto é, isolamos os termos que contêm y de um lado e os que contêm x do outro:
dydx=x^2(1+y^2) Longrightarrow dy1+y^2=x^2,dx

Passo 3

Em seguida, integramos ambos os lados. Do lado esquerdo, usamos que integral!dy1+y^2=arctan(y). Do lado direito, integral x^2,dx=x^33+C. Logo temos:
integraldy1+y^2=integral x^2,dx Longrightarrow arctan(y)=x^33+C

Passo 4

Finalmente, isolamos y aplicando a função tangente em ambos os lados, obtendo a solução geral da EDO:
y(x)=tanl(x^33+Cr)

Passo 5

Para graficar o campo de direções e algumas curvas integrais, escolhemos valores de constantes C (por exemplo C=-1,0,1) e usamos um software como Python com Matplotlib ou outro pacote, traçando as setas do campo de tangentes dadas por x^2(1+y^2) e as curvas y(x)=tan(x^3/3+C).

Resposta

y(x)=\tan\bigl(\tfrac{x^3}{3}+C\bigr)

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