Faça a mudança de variáveis \xi=2 x-3 y, \eta=x+y na equação:
9 u_{x x}+12 u_{x y}+u=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial parcial
9\,u_{x x}+12\,u_{x y}+u=0
e pede que façamos a mudança de variáveis
\xi=2x-3y,\qquad \eta=x+y.
Ou seja, queremos reescrever a equação acima em termos das derivadas parciais em \xi e \eta. As informações relevantes fornecidas são: a equação original e a relação entre (x,y) e (\xi,\eta). A tarefa é obter a forma da equação em coordenadas (\xi,\eta).

Passo 2

Primeiro definimos a nova função que representa u em coordenadas novas. Seja
U(\xi,\eta)=u(x,y),
onde \xi e \eta são dadas por \xi=2x-3y e \eta=x+y. Assim, quando escrevemos U_{\xi} ou U_{\eta} estamos falando das derivadas parciais da mesma função u, porém em relação às novas variáveis.

Passo 3

Agora vamos aplicar a regra da cadeia (chain rule) para derivadas parciais. A forma prática e muito útil é observar que a derivada parcial em x pode ser escrita como combinação das derivadas em \xi e \eta:
\frac{\partial}{\partial x}=\frac{\partial \xi}{\partial x}\frac{\partial}{\partial \xi}+\frac{\partial \eta}{\partial x}\frac{\partial}{\partial \eta}.
Analogamente,
\frac{\partial}{\partial y}=\frac{\partial \xi}{\partial y}\frac{\partial}{\partial \xi}+\frac{\partial \eta}{\partial y}\frac{\partial}{\partial \eta}.
Isto é só a extensão da regra da cadeia a funções de várias variáveis: quando \xi e \eta dependem de x,y, trocar as derivadas é fazer essa combinação linear.

Passo 4

Calculemos as derivadas de \xi e \eta em relação a x e y. A partir de \xi=2x-3y e \eta=x+y temos:
\xi_x=2,\quad \xi_y=-3,\quad \eta_x=1,\quad \eta_y=1.
Portanto os operadores parciais são
\frac{\partial}{\partial x}=2\frac{\partial}{\partial \xi}+1\frac{\partial}{\partial \eta}=2\partial_{\xi}+\partial_{\eta},
\frac{\partial}{\partial y}=-3\frac{\partial}{\partial \xi}+1\frac{\partial}{\partial \eta}=-3\partial_{\xi}+\partial_{\eta}.

Passo 5

Usando isso, obtenhamos u_x e u_y em função de U_{\xi} e U_{\eta}. Lembre que u(x,y)=U(\xi,\eta), então
u_x=(2\partial_{\xi}+\partial_{\eta})U=2U_{\xi}+U_{\eta},
u_y=(-3\partial_{\xi}+\partial_{\eta})U=-3U_{\xi}+U_{\eta}.
Aqui U_{\xi} é \partial U/\partial\xi e U_{\eta} é \partial U/\partial\eta.

Passo 6

Agora precisamos das segundas derivadas u_{x x} e u_{x y}. Para u_{x x} aplicamos novamente o operador \partial/\partial x=2\partial_{\xi}+\partial_{\eta} sobre u_x=2U_{\xi}+U_{\eta}:
u_{x x}=(2\partial_{\xi}+\partial_{\eta})(2U_{\xi}+U_{\eta}).
Desenvolvendo termo a termo (usar linearidade e a regra de derivação das derivadas parciais):
u_{x x}=2\partial_{\xi}(2U_{\xi}+U_{\eta})+\partial_{\eta}(2U_{\xi}+U_{\eta}).
Calcule cada parte:
2\partial_{\xi}(2U_{\xi})=4U_{\xi\xi},\quad 2\partial_{\xi}(U_{\eta})=2U_{\xi\eta},
\partial_{\eta}(2U_{\xi})=2U_{\xi\eta},\quad \partial_{\eta}(U_{\eta})=U_{\eta\eta}.
Somando:
u_{x x}=4U_{\xi\xi}+2U_{\xi\eta}+2U_{\xi\eta}+U_{\eta\eta}=4U_{\xi\xi}+4U_{\xi\eta}+U_{\eta\eta}.

Passo 7

Para u_{x y} aplicamos \partial/\partial y=-3\partial_{\xi}+\partial_{\eta} sobre u_x=2U_{\xi}+U_{\eta}:
u_{x y}=(-3\partial_{\xi}+\partial_{\eta})(2U_{\xi}+U_{\eta}).
Desenvolvendo:
-3\partial_{\xi}(2U_{\xi})=-6U_{\xi\xi},\quad -3\partial_{\xi}(U_{\eta})=-3U_{\xi\eta},
\partial_{\eta}(2U_{\xi})=2U_{\xi\eta},\quad \partial_{\eta}(U_{\eta})=U_{\eta\eta}.
Somando:
u_{x y}=-6U_{\xi\xi}+(-3+2)U_{\xi\eta}+U_{\eta\eta}=-6U_{\xi\xi}-U_{\xi\eta}+U_{\eta\eta}.

Passo 8

Agora substituímos u_{x x}, u_{x y} e u na equação original
9u_{x x}+12u_{x y}+u=0.
Substituindo as expressões obtidas:
9\bigl(4U_{\xi\xi}+4U_{\xi\eta}+U_{\eta\eta}\bigr)+12\bigl(-6U_{\xi\xi}-U_{\xi\eta}+U_{\eta\eta}\bigr)+U=0.

Passo 9

Façamos as multiplicações e some coeficientes termo a termo. Primeiro distribua os fatores:
9\cdot 4U_{\xi\xi}=36U_{\xi\xi},\quad 9\cdot 4U_{\xi\eta}=36U_{\xi\eta},\quad 9\cdot U_{\eta\eta}=9U_{\eta\eta},
12\cdot(-6U_{\xi\xi})=-72U_{\xi\xi},\quad 12\cdot(-U_{\xi\eta})=-12U_{\xi\eta},\quad 12\cdot U_{\eta\eta}=12U_{\eta\eta}.
Agora some os coeficientes correspondentes:
U_{\xi\xi}:\;36-72=-36,
U_{\xi\eta}:\;36-12=24,
U_{\eta\eta}:\;9+12=21.
E lembre que ainda temos o termo +U. Assim a equação fica
-36U_{\xi\xi}+24U_{\xi\eta}+21U_{\eta\eta}+U=0.

Passo 10

Podemos deixar a equação exatamente como ficou acima; não há fator comum que divida todos os coeficientes (o coeficiente de U é 1), então a forma final mais simples é:
-36U_{\xi\xi}+24U_{\xi\eta}+21U_{\eta\eta}+U=0.

Resposta

-36U_{\xi\xi}+24U_{\xi\eta}+21U_{\eta\eta}+U=0

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