Faça a mudança de variáveis
na equação:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial parcial
e pede que façamos a mudança de variáveis
Ou seja, queremos reescrever a equação acima em termos das derivadas parciais em
e
. As informações relevantes fornecidas são: a equação original e a relação entre
e
. A tarefa é obter a forma da equação em coordenadas
.
Passo 2
Primeiro definimos a nova função que representa
em coordenadas novas. Seja
onde
e
são dadas por
e
. Assim, quando escrevemos
ou
estamos falando das derivadas parciais da mesma função
, porém em relação às novas variáveis.
Passo 3
Agora vamos aplicar a regra da cadeia (chain rule) para derivadas parciais. A forma prática e muito útil é observar que a derivada parcial em
pode ser escrita como combinação das derivadas em
e
:
Analogamente,
Isto é só a extensão da regra da cadeia a funções de várias variáveis: quando
e
dependem de
, trocar as derivadas é fazer essa combinação linear.
Passo 4
Calculemos as derivadas de
e
em relação a
e
. A partir de
e
temos:
Portanto os operadores parciais são
Passo 5
Usando isso, obtenhamos
e
em função de
e
. Lembre que
, então
Aqui
é
e
é
.
Passo 6
Agora precisamos das segundas derivadas
e
. Para
aplicamos novamente o operador
sobre
:
Desenvolvendo termo a termo (usar linearidade e a regra de derivação das derivadas parciais):
Calcule cada parte:
Somando:
Passo 7
Para
aplicamos
sobre
:
Desenvolvendo:
Somando:
Passo 8
Agora substituímos
,
e
na equação original
Substituindo as expressões obtidas:
Passo 9
Façamos as multiplicações e some coeficientes termo a termo. Primeiro distribua os fatores:
Agora some os coeficientes correspondentes:
E lembre que ainda temos o termo
. Assim a equação fica
Passo 10
Podemos deixar a equação exatamente como ficou acima; não há fator comum que divida todos os coeficientes (o coeficiente de
é
), então a forma final mais simples é: