Determine os intervalos de crescimento/decrescimento das funções seguintes:
f(x)=ln (x^2+2 x+2).

Passo 1

O enunciado pede os intervalos de crescimento e decrescimento da função
f(x)=lnl(x^2+2x+2r)
O conteúdo é derivadas de funções compostas e teste de sinais da derivada.

Passo 2

Primeiro, determinamos o domínio de f. Como o argumento do ln deve ser positivo, analisamos
x^2+2x+2=(x+1)^2+1>0
para todo xinR. Portanto, o domínio de f é R.

Passo 3

Calculamos a derivada usando a regra da cadeia: se f(x)=ln(u(x)), então
f'(x)=u'(x)u(x)
Aqui u(x)=x^2+2x+2, logo
u'(x)=2x+2
e
f'(x) =2x+2x^2+2x+2 =2(x+1)(x+1)^2+1

Passo 4

Estudamos o sinal de f'(x). O denominador (x+1)^2+1 é sempre positivo, então o sinal de f'(x) coincide com o sinal de x+1:
  • f'(x)<0 se x+1<0, isto é, x<-1.
  • f'(x)=0 em x=-1.
  • f'(x)>0 se x+1>0, isto é, x>-1.

Passo 5

Com base no sinal de f'(x):
  • f é decrescente em (-infty,-1).
  • f é crescente em (-1,infty).

Resposta

f é decrescente em (-infty,-1) e crescente em (-1,infty).

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