Utilize as Somas de Riemann para calcular aproximadamente as integrais, sendo os pontos amostrais os extremos direitos de cada subintervalo, para:
\int_{-2}^{3}\left(9-x^{2}\right) d x, utilize cinco subintervalos.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos aproximar
\int_{-2}^{3}\bigl(9 - x^{2}\bigr)\,dx
usando soma de Riemann com n=5 subintervalos e tomando como ponto amostral o extremo direito de cada subintervalo. O conteúdo principal é a definição de soma de Riemann para aproximação de integrais.

Passo 2

Calcular a largura de cada subintervalo:
\Delta x = \frac{b - a}{n} = \frac{3 - (-2)}{5} = 1.
Isso gera os pontos de partição
x_{0}=-2,\;x_{1}=-1,\;x_{2}=0,\;x_{3}=1,\;x_{4}=2,\;x_{5}=3.

Passo 3

Como usamos o extremo direito, os pontos amostrais são
x_{1}^{*}=x_{1}=-1,\; x_{2}^{*}=x_{2}=0,\; x_{3}^{*}=x_{3}=1,\; x_{4}^{*}=x_{4}=2,\; x_{5}^{*}=x_{5}=3.
Agora avaliamos f(x)=9 - x^{2} nesses pontos:
f(-1)=9-(-1)^{2}=8,\quad f(0)=9-0^{2}=9,
f(1)=9-1^{2}=8,\quad f(2)=9-2^{2}=5,\quad f(3)=9-3^{2}=0.

Passo 4

Montamos a soma de Riemann pelo extremo direito:
R_{5} \;=\; \sum_{i=1}^{5} f(x_{i}^{*})\,\Delta x \;=\;(8 + 9 + 8 + 5 + 0)\times 1 \;=\;30.

Resposta

A aproximação da integral por soma de Riemann (extremos direitos, n=5) é 30.

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