Utilize as Somas de Riemann para calcular aproximadamente as integrais, sendo os pontos amostrais os extremos direitos de cada subintervalo, para:
\int_{-3}^{3}\left(x^{3}-2 x^{2}-8 x\right) d x, utilize seis subintervalos.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral
\int_{-3}^{3}\bigl(x^{3}-2x^{2}-8x\bigr)\,dx
usando a soma de Riemann com n=6 subintervalos e pontos amostrais nos extremos direitos. Vamos aplicar a definição de soma de Riemann direita:
S_{\text{direita}}=\sum_{i=1}^{n}f(x_i^*)\,\Delta x,
onde \Delta x=(b-a)/n e x_i^* são os extremos direitos de cada subintervalo.

Passo 2

Calcular o tamanho de cada subintervalo:
\Delta x=\frac{3-(-3)}{6}=1.

Passo 3

Listar os subintervalos e escolher os extremos direitos como pontos amostrais:
intervalos [-3,-2],[-2,-1],[-1,0],[0,1],[1,2],[2,3]
portanto
x_1^*=-2,\;x_2^*=-1,\;x_3^*=0,\;x_4^*=1,\;x_5^*=2,\;x_6^*=3.

Passo 4

Avaliar f(x)=x^3-2x^2-8x em cada ponto amostral:
f(-2)=(-2)^3-2(-2)^2-8(-2)= -8-8+16=0,
f(-1)=(-1)^3-2(-1)^2-8(-1)= -1-2+8=5,
f(0)=0-0-0=0,
f(1)=1-2-8=-9,
f(2)=8-8-16=-16,
f(3)=27-18-24=-15.

Passo 5

Montar a soma de Riemann direita e multiplicar por \Delta x:
S_{\text{direita}} =\Delta x\sum_{i=1}^{6}f(x_i^*) =1\bigl[0+5+0+(-9)+(-16)+(-15)\bigr] =-35.

Resposta

-35

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