Utilize as Somas de Riemann para calcular aproximadamente as integrais, sendo os pontos amostrais os extremos direitos de cada subintervalo, para:
\int_{0}^{10}\left(x^{2}-4 x+2\right) d x, utilize cinco subintervalos.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral
\int_{0}^{10}\bigl(x^{2}-4x+2\bigr)\,dx
usando somas de Riemann com cinco subintervalos de largura igual e pontos amostrais nos extremos direitos. Vamos precisar calcular a largura de cada subintervalo \Delta x, determinar os pontos amostrais x_i, avaliar a função em cada um desses pontos e somar f(x_i)\,\Delta x.

Passo 2

Dividimos o intervalo [0,10] em 5 partes iguais. A largura de cada subintervalo é
\Delta x = \frac{10 - 0}{5} = 2.

Passo 3

Os pontos amostrais nos extremos direitos são
x_i = 0 + i\,\Delta x = 2i,\quad i = 1,2,3,4,5,
isto é, x_1=2, x_2=4, x_3=6, x_4=8, x_5=10.

Passo 4

Agora avaliamos f(x)=x^2-4x+2 em cada ponto amostral:
f(2) = 2^2 - 4\cdot2 + 2 = -2,\quad f(4) = 4^2 - 4\cdot4 + 2 = 2,
f(6) = 6^2 - 4\cdot6 + 2 = 14,\quad f(8) = 8^2 - 4\cdot8 + 2 = 34,
f(10) = 10^2 - 4\cdot10 + 2 = 62.

Passo 5

A soma de Riemann pelo método dos extremos direitos é
S_5 = \sum_{i=1}^{5} f(x_i)\,\Delta x = 2\bigl(-2 + 2 + 14 + 34 + 62\bigr) = 2\cdot 110 = 220.

Resposta

A aproximação da integral pelo somatório de Riemann com cinco subintervalos e pontos direitos é 220.

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