Utilize as substituições sugeridas para resolver as integrais e concluir as igualdades , fazendo x=a tan theta, a>0.
Passo 1
A questão pede para calcular a integral integral dxx^2raiza^2+x^2 usando a substituição sugerida x = atantheta, onde a>0. O conteúdo é integração por substituição trigonométrica, e vamos precisar recordar: 1) expressão de dx em função de dtheta, 2) transformar x^2 e raiza^2+x^2 em termos de theta, e 3) reverter no final para x.
Passo 2
Fazendo x = atantheta, temos
dx = asec^2theta,dtheta,
além de
x^2 = a^2tan^2theta,
e
raiza^2+x^2 = raiza^2+a^2tan^2theta = asectheta
Passo 3
Substituindo na integral original:
integral dxx^2raiza^2+x^2 = integral asec^2theta,dthetal(a^2tan^2thetar)l(asecthetar) = integral sec^2thetaa^2tan^2theta,sectheta,dtheta = 1a^2integral secthetatan^2theta,dtheta
Esse é o resultado da integral em forma explícita.
Observação: o enunciado dá uma forma logarítmica diferente, mas a expressão correta obtida pela substituição é a acima.