Utilize as substituições sugeridas para resolver as integrais e concluir as igualdades
integral d xx^2 raiza^2+x^2=1a^2 ln |xraiza^2+x^2|+C, fazendo x=a tan theta, a>0.

Passo 1

A questão pede para calcular a integral integral dxx^2raiza^2+x^2 usando a substituição sugerida x = atantheta, onde a>0. O conteúdo é integração por substituição trigonométrica, e vamos precisar recordar: 1) expressão de dx em função de dtheta, 2) transformar x^2 e raiza^2+x^2 em termos de theta, e 3) reverter no final para x.

Passo 2

Fazendo x = atantheta, temos
dx = asec^2theta,dtheta,
além de
x^2 = a^2tan^2theta,
e
raiza^2+x^2 = raiza^2+a^2tan^2theta = asectheta

Passo 3

Substituindo na integral original:
integral dxx^2raiza^2+x^2 = integral asec^2theta,dthetal(a^2tan^2thetar)l(asecthetar) = integral sec^2thetaa^2tan^2theta,sectheta,dtheta = 1a^2integral secthetatan^2theta,dtheta

Passo 4

Agora simplificamos
secthetatan^2theta = 1/costheta(sin^2theta/cos^2theta) = costhetasin^2theta

Passo 5

Então a integral em theta fica
1a^2integral costhetasin^2theta,dtheta

Passo 6

Para resolver, fazemos u = sintheta, logo du = costheta,dtheta. A integral vira
1a^2integral u^-2,du = 1a^2l(-u^-1r) + C = -1a^2,u + C

Passo 7

Voltando a theta: u = sintheta, então
-1a^2sintheta + C

Passo 8

Por fim, reescrevendo em termos de x: de x = atantheta segue

Passo 9

Portanto
-1a^2sintheta = -1a^2cdot raiza^2+x^2x = -raiza^2+x^2a^2,x

Passo 10

Esse é o resultado da integral em forma explícita.
Observação: o enunciado dá uma forma logarítmica diferente, mas a expressão correta obtida pela substituição é a acima.

Resposta

-\dfrac{\sqrt{a{2}+x{2}}}{a^{2}x}+C

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