Utilize as substituições sugeridas para resolver as integrais e concluir as igualdades
, fazendo
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma integral:
E a gente precisa resolvê-la usando a substituição sugerida, que é $ x = 2 \sin \theta $. Aqui, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente a técnica de substituição trigonométrica para resolver integrais que envolvem raízes quadradas de expressões quadráticas.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a substituição indicada: $ x = 2 \sin \theta $. Isso significa que, para encontrar $ dx $ em termos de $ d\theta $, derivamos ambos os lados em relação a $ \theta $:
Passo 3
Agora, substituímos $ x = 2 \sin \theta $ e $ dx = 2 \cos \theta , d\theta $ na integral original:
Passo 4
Vamos simplificar o denominador passo a passo. Primeiro, calculamos $ (2 \sin \theta)^{2} = 4 \sin^{2} \theta $. Então temos:
Passo 5
Substituindo essas simplificações na integral, temos:
Passo 6
Agora, lembrando que $ \sin^{2} \theta = 1 - \cos^{2} \theta $, mas uma melhor abordagem aqui é reconhecer que $ \frac{1}{\sin^{2} \theta} = \csc^{2} \theta $. E sabemos que a integral de $ \csc^{2} \theta $ é:
Portanto, nossa integral se torna:
Passo 7
Agora, precisamos voltar para a variável original $ x $. Sabemos que $ x = 2 \sin \theta $, então:
E o triângulo retângulo correspondente terá:
- Cateto oposto: $ x $
- Hipotenusa: $ 2 $
- Cateto adjacente: $ \sqrt{4 - x^{2}} $
Então, $ \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{x} $
Passo 8
Substituindo $ \cot \theta $ de volta na expressão da integral, temos:
Resposta
Portanto, a integral é igual a: