Utilize as substituições sugeridas para resolver as integrais e concluir as igualdades
integral d xx^2 raiz4-x^2=-14 raiz4-x^2x+C, fazendo x=2 sin theta.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma integral:
integral dxx^2 raiz4 - x^2
E a gente precisa resolvê-la usando a substituição sugerida, que é $ x = 2 \sin \theta $. Aqui, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente a técnica de substituição trigonométrica para resolver integrais que envolvem raízes quadradas de expressões quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição indicada: $ x = 2 \sin \theta $. Isso significa que, para encontrar $ dx $ em termos de $ d\theta $, derivamos ambos os lados em relação a $ \theta $:
x = 2 sin theta

Passo 3

Agora, substituímos $ x = 2 \sin \theta $ e $ dx = 2 \cos \theta , d\theta $ na integral original:
x = 2 sin theta

Passo 4

Vamos simplificar o denominador passo a passo. Primeiro, calculamos $ (2 \sin \theta)^{2} = 4 \sin^{2} \theta $. Então temos:
(2 sin theta)^2 = 4 sin^2 theta

Passo 5

Substituindo essas simplificações na integral, temos:
integral 2 cos theta , dtheta4 sin^2 theta cdot 2 cos theta = integral 2 cos theta , dtheta8 sin^2 theta cos theta = integral dtheta4 sin^2 theta

Passo 6

Agora, lembrando que $ \sin^{2} \theta = 1 - \cos^{2} \theta $, mas uma melhor abordagem aqui é reconhecer que $ \frac{1}{\sin^{2} \theta} = \csc^{2} \theta $. E sabemos que a integral de $ \csc^{2} \theta $ é:
sin^2 theta = 1 - cos^2 theta
Portanto, nossa integral se torna:
1sin^2 theta = csc^2 theta

Passo 7

Agora, precisamos voltar para a variável original $ x $. Sabemos que $ x = 2 \sin \theta $, então:
x
E o triângulo retângulo correspondente terá:
  • Cateto oposto: $ x $
  • Hipotenusa: $ 2 $
  • Cateto adjacente: $ \sqrt{4 - x^{2}} $
Então, $ \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{x} $

Passo 8

Substituindo $ \cot \theta $ de volta na expressão da integral, temos:
cot theta

Resposta

Portanto, a integral é igual a:
integral dxx^2 raiz4 - x^2 = -14 raiz4 - x^2x + C

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