Resolva a equação diferencial: e^y y^prime=x(x+e^y)-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos dá a equação $ e^{y} \frac{dy}{dx} = x(x + e^{y}) - 1 $. Estamos lidando com equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição e integrar fatores. Vamos lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para deixar tudo mais fácil de trabalhar. Vamos expandir o lado direito:
e^y dydx = x^2 + x e^y - 1

Passo 3

Vamos tentar isolar $ \frac{dy}{dx} $. Para isso, dividimos ambos os lados por $ e^{y} $:
dydx
Agora, temos a equação na forma:
e^y

Passo 4

Observamos que a equação está um pouco complicada, então vamos fazer uma substituição para simplificar. Vamos definir:
u = e^y
Então, a derivada de $ u $ em relação a $ x $ é:
u
A equação original pode ser reescrita usando $ u $:
x

Passo 5

Agora, temos uma equação diferencial linear na forma:
dudx - x u = x^2 - 1
Para resolver isso, vamos encontrar um fator integrante. O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
mu(x)
Multiplicamos toda a equação por $ \mu(x) $:
mu(x) = e^integral -x , dx = e^- x^22
Isso simplifica para:
mu(x)

Passo 6

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a $ x $:
x
A integral do lado direito pode ser resolvida por partes ou reconhecendo padrões de derivadas. Após resolver a integral, obtemos:
u e^- x^22 = integral (x^2 - 1) e^- x^22 , dx + C
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 7

Agora, substituímos $ u = e^{y} $ de volta na equação:
u = e^y
Multiplicando ambos os lados por $ e{\frac{x2}{2}} $:
e^y e^- x^22 = -x e^- x^22 + C

Resposta

Portanto, a solução da equação diferencial é:
y = ln( -x + C e^x^22 )
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.

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