Resolva a equação diferencial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos dá a equação $ e^{y} \frac{dy}{dx} = x(x + e^{y}) - 1 $. Estamos lidando com equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição e integrar fatores. Vamos lá passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação para deixar tudo mais fácil de trabalhar. Vamos expandir o lado direito:
Passo 3
Vamos tentar isolar $ \frac{dy}{dx} $. Para isso, dividimos ambos os lados por $ e^{y} $:
Agora, temos a equação na forma:
Passo 4
Observamos que a equação está um pouco complicada, então vamos fazer uma substituição para simplificar. Vamos definir:
Então, a derivada de $ u $ em relação a $ x $ é:
A equação original pode ser reescrita usando $ u $:
Passo 5
Agora, temos uma equação diferencial linear na forma:
Para resolver isso, vamos encontrar um fator integrante. O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
Multiplicamos toda a equação por $ \mu(x) $:
Isso simplifica para:
Passo 6
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a $ x $:
A integral do lado direito pode ser resolvida por partes ou reconhecendo padrões de derivadas. Após resolver a integral, obtemos:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 7
Agora, substituímos $ u = e^{y} $ de volta na equação:
Multiplicando ambos os lados por $ e{\frac{x2}{2}} $:
Resposta
Portanto, a solução da equação diferencial é:
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.