Utilize a tabela a seguir, das séries de Maclaurin, para obter a série de Maclaurin das funções:
ll 11-x=sumn=0^infty x^n=1+x+x^2+x^3+cdots & R=1 e^x=sumn=0^infty x^nn!=1+x1!+x^22!+x^33!+cdots & R=infty sen x=sumn=0^infty(-1)^n x^2 n+1(2 n+1)!=x-x^33!+x^55!-x^77!+cdots & R=infty cos x=sumn=0^infty(-1)^n x^2 n(2 n)!=1-x^22!+x^44!-x^66!+cdots & R=infty tg^-1 x=sumn=0^infty(-1)^n x^2 n+12 n+1=x-x^33+x^55-x^77+cdots & R=1 ln (1+x)=sumn=1^infty(-1)^n-1 x^nn=x-x^22+x^33-x^44+cdots & R=1 (1+x)^k=sumn=0^inftybinomkn x^n=1+k x+k(k-1)2! x^2+k(k-1)(k-2)3! x^3+cdots & R=1
a) f(x)=sen(pi x)

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de f(x)=sen(pi x). Vamos usar a série conhecida de sen x em torno de x=0 e em seguida substituir x por pi x.

Passo 2

A série de Maclaurin de sen x é
sen x = sumn=0^infty(-1)^nx^2n+1(2n+1)! = x - x^33! + x^55! - x^77! + cdots

Passo 3

Para obter sen(pi x), substituímos x por pi x na série acima:
sen(pi x) = sumn=0^infty(-1)^n(pi x)^2n+1(2n+1)! = pi x - (pi x)^33! + (pi x)^55! - (pi x)^77! + cdots

Resposta

sen(pi x) = sumn=0^infty(-1)^npi^,2n+1,x^2n+1(2n+1)! = pi x - pi^3x^33! + pi^5x^55! - cdots

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