Utilize o Teorema do Confronto para demonstrar que \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{4}-4 y^{4}}{x^{2}+2 y^{2}}=0 (Stewart 14.2.6).
Passo 1
O enunciado dá a função
f(x,y)=\frac{x^{4}-4y^{4}}{x^{2}+2y^{2}}
e pede para mostrar, usando o Teorema do Confronto, que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0.
Informações relevantes fornecidas:
O numerador é \,x^{4}-4y^{4}\,.
O denominador é \,x^{2}+2y^{2}\,.
O ponto onde a limite é pedido é (0,0). Note que o denominador é não negativo e só se anula em (0,0); a expressão está bem definida para (x,y)\neq(0,0).
A meta é comparar |f(x,y)| com uma função que vá para 0 quando (x,y)\to(0,0), e então aplicar o Teorema do Confronto (squeeze theorem).
Passo 2
Primeiro trabalho com o valor absoluto para poder usar desigualdades fáceis. Uso a desigualdade triangular simples |a-b|\le |a|+|b|. Aplicando ao numerador:
Explicando com calma: x^{4}=(x^{2})^{2} e y^{4}=(y^{2})^{2}, e como esses são quadrados, são não negativos; por isso |x^{4}|=x^{4} e |4y^{4}|=4y^{4}.
Passo 3
Agora vou relacionar x^{4} e 4y^{4} com o fator x^{2}+2y^{2} que aparece no denominador — a ideia é obter uma desigualdade do tipo |x^{4}-4y^{4}|\le C\,(x^{2}+2y^{2})^{2} ou semelhante.
Observações úteis (válidas para qualquer (x,y)):
Como x^{2}\le x^{2}+2y^{2}, multiplicando ambos os lados por x^{2}\ge0 obtemos
Como 2y^{2}\le x^{2}+2y^{2}, dividindo por 2 (quantidade positiva) obtemos y^{2}\le \dfrac{x^{2}+2y^{2}}{2}. Multiplicando ambos os lados por y^{2}\ge0 dá