Utilize o Teorema do Confronto para demonstrar que \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{4}-4 y^{4}}{x^{2}+2 y^{2}}=0 (Stewart 14.2.6).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\frac{x^{4}-4y^{4}}{x^{2}+2y^{2}}
e pede para mostrar, usando o Teorema do Confronto, que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0.
Informações relevantes fornecidas:
  • O numerador é \,x^{4}-4y^{4}\,.
  • O denominador é \,x^{2}+2y^{2}\,.
  • O ponto onde a limite é pedido é (0,0). Note que o denominador é não negativo e só se anula em (0,0); a expressão está bem definida para (x,y)\neq(0,0).
  • A meta é comparar |f(x,y)| com uma função que vá para 0 quando (x,y)\to(0,0), e então aplicar o Teorema do Confronto (squeeze theorem).

Passo 2

Primeiro trabalho com o valor absoluto para poder usar desigualdades fáceis. Uso a desigualdade triangular simples |a-b|\le |a|+|b|. Aplicando ao numerador:
\bigl|x^{4}-4y^{4}\bigr|\le |x^{4}|+|4y^{4}|=x^{4}+4y^{4}.
Explicando com calma: x^{4}=(x^{2})^{2} e y^{4}=(y^{2})^{2}, e como esses são quadrados, são não negativos; por isso |x^{4}|=x^{4} e |4y^{4}|=4y^{4}.

Passo 3

Agora vou relacionar x^{4} e 4y^{4} com o fator x^{2}+2y^{2} que aparece no denominador — a ideia é obter uma desigualdade do tipo |x^{4}-4y^{4}|\le C\,(x^{2}+2y^{2})^{2} ou semelhante.
Observações úteis (válidas para qualquer (x,y)):
  • Como x^{2}\le x^{2}+2y^{2}, multiplicando ambos os lados por x^{2}\ge0 obtemos
x^{4}=x^{2}\cdot x^{2}\le x^{2}\bigl(x^{2}+2y^{2}\bigr).
  • Como 2y^{2}\le x^{2}+2y^{2}, dividindo por 2 (quantidade positiva) obtemos y^{2}\le \dfrac{x^{2}+2y^{2}}{2}. Multiplicando ambos os lados por y^{2}\ge0
y^{4}=y^{2}\cdot y^{2}\le \frac{x^{2}+2y^{2}}{2}\,y^{2}.
Multiplicando essa última desigualdade por 4 resulta em
4y^{4}\le 2\bigl(x^{2}+2y^{2}\bigr)y^{2}.

Passo 4

Somando as duas desigualdades obtidas para x^{4} e 4y^{4} temos:
x^{4}+4y^{4}\le \bigl(x^{2}+2y^{2}\bigr)x^{2}+2\bigl(x^{2}+2y^{2}\bigr)y^{2}.
Fatorando \,x^{2}+2y^{2}\, no lado direito:
x^{4}+4y^{4}\le \bigl(x^{2}+2y^{2}\bigr)\bigl(x^{2}+2y^{2}\bigr)=\bigl(x^{2}+2y^{2}\bigr)^{2}.
Lembrando da desigualdade do Passo 2, obtemos então, para (x,y)\neq(0,0),
\bigl|x^{4}-4y^{4}\bigr|\le x^{4}+4y^{4}\le \bigl(x^{2}+2y^{2}\bigr)^{2}.

Passo 5

Dividindo a desigualdade anterior por x^{2}+2y^{2}>0 (válido para (x,y)\neq(0,0)) obtemos uma desigualdade para o módulo da função:
\left|\frac{x^{4}-4y^{4}}{x^{2}+2y^{2}}\right|\le x^{2}+2y^{2}.
Aqui usei que x^{2}+2y^{2} é positivo fora da origem, portanto a divisão preserva a desigualdade.

Passo 6

Agora aplico o Teorema do Confronto. A função à esquerda é \left|f(x,y)\right| e foi mostrada ser majorada por x^{2}+2y^{2}. Como claramente
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\bigl(x^{2}+2y^{2}\bigr)=0,
segue do Teorema do Confronto que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\left|\frac{x^{4}-4y^{4}}{x^{2}+2y^{2}}\right|=0.
Se o módulo tende a 0, a própria função tende a 0. Portanto
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{4}-4y^{4}}{x^{2}+2y^{2}}=0.

Resposta

\;0\;

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