Demonstre que o vetor gradiente \nabla f\left(x_{0}, y_{0}\right) é perpendicular à curva de nível f(x, y)=k que passa pelo ponto P\left(x_{0}, y_{0}\right).

Passo 1

O enunciado pede que se demonstre que o vetor gradiente \nabla f\left(x_{0},y_{0}\right) é perpendicular à curva de nível f(x,y)=k que passa pelo ponto P\left(x_{0},y_{0}\right).
Informações dadas (assumidas como adequadas para o enunciado):
  • Existe uma função real de duas variáveis f(x,y) com derivadas parciais em uma vizinhança de P.
  • O ponto P\left(x_{0},y_{0}\right) satisfaz f\left(x_{0},y_{0}\right)=k, portanto P está sobre a curva de nível \{(x,y):f(x,y)=k\}.
  • A tarefa é provar que o vetor \nabla f\left(x_{0},y_{0}\right) é ortogonal (perpendicular) à tangente dessa curva em P.

Passo 2

Definição e interpretação do gradiente — o que é \nabla f e o que significam as derivadas parciais.
  • O vetor gradiente de f em um ponto (x,y) é
\nabla f(x,y)=\bigl(f_{x}(x,y),\,f_{y}(x,y)\bigr),
onde \,f_{x}(x,y)=\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) é a derivada parcial de f em relação a x e \,f_{y}(x,y)=\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y) é a derivada parcial em relação a y.
  • Intuição: \nabla f(x,y) aponta na direção de maior aumento de f e seu módulo mede a taxa de crescimento nessa direção. Vamos usar essa definição e a relação do gradiente com derivadas direcionais.

Passo 3

Representação paramétrica da curva de nível e definição de vetor tangente.
  • Como a curva de nível \{(x,y):f(x,y)=k\} passa por P, existe (localmente) uma parametrização suave da curva por uma função vetorial \mathbf{r}(t)=\bigl(x(t),y(t)\bigr) tal que para algum t_{0} vale \mathbf{r}(t_{0})=\bigl(x_{0},y_{0}\bigr) e, para todo t próximo de t_{0},
f\bigl(x(t),y(t)\bigr)=k.
  • O vetor tangente à curva no ponto P é \mathbf{r}'(t_{0})=\bigl(x'(t_{0}),y'(t_{0})\bigr). Esse vetor aponta na direção da curva naquele ponto.

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia (chain rule) à função composta g(t)=f\bigl(x(t),y(t)\bigr).
  • Como g(t) é a composição de f com \mathbf{r}(t), pela regra da cadeia para derivadas unidimensionais temos
g'(t)=\dfrac{d}{dt}f\bigl(x(t),y(t)\bigr)=f_{x}\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,x'(t)+f_{y}\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,y'(t).
  • Em notação vetorial este mesmo resultado pode ser escrito de forma compacta como produto escalar:
g'(t)=\nabla f\bigl(x(t),y(t)\bigr)\cdot \mathbf{r}'(t).

Passo 5

Usar que f é constante ao longo da curva de nível para concluir que a derivada é zero.
  • Pela construção da curva de nível temos g(t)=k para todos t próximos de t_{0}. Portanto g'(t)=0 para esses t, em particular
g'(t_{0})=0.
  • Substituindo na fórmula do passo anterior obtemos
0=g'(t_{0})=\nabla f\bigl(x_{0},y_{0}\bigr)\cdot \mathbf{r}'(t_{0}).

Passo 6

Interpretação geométrica do produto escalar e conclusão da perpendicularidade.
  • O produto escalar de dois vetores \mathbf{a} e \mathbf{b} satisfaz \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0 exatamente quando \mathbf{a} é perpendicular a \mathbf{b}.
  • Como \nabla f\bigl(x_{0},y_{0}\bigr)\cdot \mathbf{r}'(t_{0})=0, concluímos que \nabla f\bigl(x_{0},y_{0}\bigr) é perpendicular ao vetor tangente \mathbf{r}'(t_{0}) da curva de nível no ponto P.
  • Logo, o gradiente em P é perpendicular à curva de nível f(x,y)=k que passa por P.

Passo 7

Observações didáticas e uma alternativa rápida (útil na prova).
  • Observação importante: se \nabla f\bigl(x_{0},y_{0}\bigr)=\mathbf{0} então a demonstração acima dá \mathbf{0}\cdot\mathbf{r}'(t_{0})=0, que é verdadeiro mas não informa uma direção preferencial; em pontos críticos (gradiente nulo) a noção “vetor normal” é degenerada. Em aulas/provas normalmente assume-se \nabla f\bigl(x_{0},y_{0}\bigr)\neq\mathbf{0}.
  • Método alternativo (quando a curva de nível é localmente o gráfico de uma função y=g(x), isto é, quando f_{y}(x_{0},y_{0})\neq 0):
    \text{diferenciando } f\bigl(x,g(x)\bigr)=k \Rightarrow f_{x}+f_{y}\,g'(x)=0 \Rightarrow g'(x)=-\dfrac{f_{x}}{f_{y}}.
    Um vetor tangente pode ser tomado como \bigl(1,g'(x_{0})\bigr)=\bigl(1,-\dfrac{f_{x}(x_{0},y_{0})}{f_{y}(x_{0},y_{0})}\bigr). Fazendo o produto escalar com \nabla f(x_{0},y_{0})=\bigl(f_{x},f_{y}\bigr) obtém-se zero:
    f_{x}\cdot 1 + f_{y}\cdot\Bigl(-\dfrac{f_{x}}{f_{y}}\Bigr)=0,
    confirmando a perpendicularidade. Este caminho é útil quando dá para ver a curva como y=g(x).

Passo 8

Exemplo concreto para fixar a ideia (se vier em prova, escreva algo assim rapidamente).
  • Tome f(x,y)=x^{2}+y^{2}. Nível f(x,y)=k é x^{2}+y^{2}=k, um círculo.
  • \nabla f(x,y)=(2x,2y) aponta para fora (direção radial).
  • Um vetor tangente ao círculo em (x_{0},y_{0}) é \mathbf{t}=(-y_{0},x_{0}).
  • Produto escalar:
\nabla f(x_{0},y_{0})\cdot \mathbf{t}=2x_{0}(-y_{0})+2y_{0}(x_{0})=0,
logo \nabla f é perpendicular à tangente, como esperado.

Resposta

\nabla f(x_{0},y_{0}) é perpendicular à curva de nível f(x,y)=k que passa por P(x_{0},y_{0}).

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