Demonstre que o vetor gradiente
é perpendicular à curva de nível
que passa pelo ponto
.
Passo 1
O enunciado pede que se demonstre que o vetor gradiente
é perpendicular à curva de nível
que passa pelo ponto
.
Informações dadas (assumidas como adequadas para o enunciado):
- Existe uma função real de duas variáveis
com derivadas parciais em uma vizinhança de . - O ponto
satisfaz , portanto está sobre a curva de nível . - A tarefa é provar que o vetor
é ortogonal (perpendicular) à tangente dessa curva em .
Passo 2
Definição e interpretação do gradiente — o que é
e o que significam as derivadas parciais.
- O vetor gradiente de
em um ponto é
onde
é a derivada parcial de
em relação a
e
é a derivada parcial em relação a
.
- Intuição:
aponta na direção de maior aumento de e seu módulo mede a taxa de crescimento nessa direção. Vamos usar essa definição e a relação do gradiente com derivadas direcionais.
Passo 3
Representação paramétrica da curva de nível e definição de vetor tangente.
- Como a curva de nível
passa por , existe (localmente) uma parametrização suave da curva por uma função vetorial tal que para algum vale e, para todo próximo de ,
- O vetor tangente à curva no ponto
é . Esse vetor aponta na direção da curva naquele ponto.
Passo 4
Aplicar a regra da cadeia (chain rule) à função composta
.
- Como
é a composição de com , pela regra da cadeia para derivadas unidimensionais temos
- Em notação vetorial este mesmo resultado pode ser escrito de forma compacta como produto escalar:
Passo 5
Usar que
é constante ao longo da curva de nível para concluir que a derivada é zero.
- Pela construção da curva de nível temos
para todos próximos de . Portanto para esses , em particular
- Substituindo na fórmula do passo anterior obtemos
Passo 6
Interpretação geométrica do produto escalar e conclusão da perpendicularidade.
- O produto escalar de dois vetores
e satisfaz exatamente quando é perpendicular a . - Como
, concluímos que é perpendicular ao vetor tangente da curva de nível no ponto . - Logo, o gradiente em
é perpendicular à curva de nível que passa por .
Passo 7
Observações didáticas e uma alternativa rápida (útil na prova).
-
Observação importante: se
então a demonstração acima dá , que é verdadeiro mas não informa uma direção preferencial; em pontos críticos (gradiente nulo) a noção “vetor normal” é degenerada. Em aulas/provas normalmente assume-se . -
Método alternativo (quando a curva de nível é localmente o gráfico de uma função
, isto é, quando ): Um vetor tangente pode ser tomado como. Fazendo o produto escalar com obtém-se zero: confirmando a perpendicularidade. Este caminho é útil quando dá para ver a curva como.
Passo 8
Exemplo concreto para fixar a ideia (se vier em prova, escreva algo assim rapidamente).
- Tome
. Nível é , um círculo. -
aponta para fora (direção radial). - Um vetor tangente ao círculo em
é . - Produto escalar:
logo
é perpendicular à tangente, como esperado.