Utilize o Teorema do Confronto para mostrar que:
(a)
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(a)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar o limite de uma função de duas variáveis, $ \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{y^{4} \cos {2}(x)}{x{2}+y^{2}} $. Para isso, vamos usar o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Enforcamento ou Squeeze Theorem). Esse teorema nos ajuda a determinar limites ao “apertar” a função entre duas outras que têm o mesmo limite.
Passo 2
Vamos começar analisando os componentes da nossa função: $ y^{4} \cos^{2}(x) $ e $ x^{2} + y^{2} $. Sabemos que o cosseno ao quadrado, $ \cos^{2}(x) $, sempre está entre 0 e 1, ou seja:
Passo 3
Multiplicando os dois lados dessa desigualdade por $ y^{4} $ (que é sempre não negativo), temos:
Passo 4
Agora, vamos dividir cada parte da desigualdade por $ x^{2} + y^{2} $ (que também é sempre positivo, exceto no ponto (0,0), mas estamos considerando o limite, não o valor no ponto). Assim:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar os limites das duas extremidades da desigualdade quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0,0) $.
Primeiro, o limite inferior é simplesmente 0:
Passo 6
Em seguida, vamos calcular o limite superior $ \frac{y{4}}{x{2} + y^{2}} $. Podemos observar que $ y^{4} $ é menor ou igual a $ (x^{2} + y{2}){2} $ porque:
Isso ocorre porque $ x^{2} $ é sempre não negativo, então $ x^{2} + y^{2} \geq y^{2} $, e ao elevar ao quadrado mantém a desigualdade.
Passo 7
Substituindo na fração, temos:
Então:
Passo 8
Agora, aplicando o Teorema do Confronto, já que a nossa função está entre 0 e algo que tende a 0, concluímos que:
Resposta
O limite é igual a
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