Utilize o Teorema do Confronto para mostrar que:
lim x 0 x^2 cos (1x)=0

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxto0 x^2cosl(1/xr)=0 usando o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche). Vamos aproveitar o fato de que cos é sempre limitado entre -1 e 1.

Passo 2

Sabemos pela teoria das funções trigonométricas que para todo xneq0 vale
-1 <= cosl(1/xr) <= 1

Passo 3

Como x^2 é sempre não-negativo, podemos multiplicar essa desigualdade por x^2 sem inverter os sinais das desigualdades. Assim obtemos
-x^2 <= x^2cosl(1/xr) <= x^2

Passo 4

Agora calculamos os limites das funções que “espremem” x^2cos(1/x). Temos
limxto0(-x^2)=0elimxto0x^2=0

Passo 5

Pelo Teorema do Confronto, como x^2cos(1/x) está sempre entre duas funções que tendem a zero, concluímos que
limxto0x^2cosl(1/xr)=0

Resposta

0

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