Utilize o Teorema da Convolução para encontrar . .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de Transformada de Laplace, especificamente usando o Teorema da Convolução para encontrar a transformada inversa de . Vamos precisar entender o que é a Transformada de Laplace, o Teorema da Convolução e como aplicá-los passo a passo para resolver o problema.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a Transformada de Laplace. Ela é uma técnica usada para transformar funções do domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução de equações diferenciais. A transformada inversa de Laplace nos retorna à função original no domínio do tempo.
Passo 3
Agora, o Teorema da Convolução nos ajuda a encontrar a transformada inversa de um produto de duas transformadas de Laplace. Ou seja, se temos , então a transformada inversa de é a convolução das transformadas inversas de e . A convolução é uma operação que combina duas funções para formar uma terceira função.
Passo 4
Vamos decompor em dois termos:
Passo 5
Agora, vamos encontrar as transformadas inversas de e :
(a função constante 1)
(função seno)
Passo 6
Aplicando o Teorema da Convolução, a transformada inversa de será a convolução dessas duas funções:
Passo 7
Vamos resolver a integral:
Fazendo a substituição , , os limites de integração ficam de para :