Utilize o Teorema da Convolução para encontrar L^-1F(s).
F(s)=1s(s^2+1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de Transformada de Laplace, especificamente usando o Teorema da Convolução para encontrar a transformada inversa de F(s) = 1s(s^2+1). Vamos precisar entender o que é a Transformada de Laplace, o Teorema da Convolução e como aplicá-los passo a passo para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a Transformada de Laplace. Ela é uma técnica usada para transformar funções do domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução de equações diferenciais. A transformada inversa de Laplace nos retorna à função original no domínio do tempo.

Passo 3

Agora, o Teorema da Convolução nos ajuda a encontrar a transformada inversa de um produto de duas transformadas de Laplace. Ou seja, se temos F(s) = F1(s) cdot F2(s), então a transformada inversa de F(s) é a convolução das transformadas inversas de F1(s) e F2(s). A convolução é uma operação que combina duas funções para formar uma terceira função.

Passo 4

Vamos decompor F(s) = 1s(s^2+1) em dois termos:
  • F1(s) = 1s
  • F2(s) = 1s^2+1

Passo 5

Agora, vamos encontrar as transformadas inversas de F1(s) e F2(s):
  • L^-11s = 1 (a função constante 1)
  • L^-11s^2+1 = sin(t) (função seno)

Passo 6

Aplicando o Teorema da Convolução, a transformada inversa de F(s) será a convolução dessas duas funções:
f(t) = integral0^t 1 cdot sin(t - tau) , dtau

Passo 7

Vamos resolver a integral:
f(t) = integral0^t sin(t - tau) , dtau
Fazendo a substituição u = t - tau, du = -dtau, os limites de integração ficam de u = t para u = 0:
f(t) = integralt^0 sin(u) cdot (-du) = integral0^t sin(u) , du
Integrando:
f(t) = -cos(u) |0^t = -cos(t) + cos(0) = 1 - cos(t)

Resposta

A transformada inversa de F(s) = 1s(s^2+1) é:
L^-11s(s^2+1) = 1 - cos(t)

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