Utilize o Teorema da Convolução para encontrar a Transformada Inversa de Laplace de cada uma das seguintes funções:
F(s)=1s^2(s^2+1)

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de F(s)=1s^2(s^2+1). O conteúdo principal é o Teorema da Convolução, e vamos usar as transformadas inversas conhecidas de 1/s^2 e 1/(s^2+1) para resolver.

Passo 2

Podemos escrever
F(s)=1s^2cdot1s^2+1
Sabemos que
L^-11/s^2=t
e
L^-11/(s^2+1)=sin t.

Passo 3

Pelo Teorema da Convolução, a transformada inversa é
f(t)=(t*sin t)(t)=integral0^ttau,sin(t-tau),dtau

Passo 4

Fazendo a mudança de variável u=t-tau, temos
integral0^ttausin(t-tau),dtau=integral0^t(t-u)sin u,du=tintegral0^tsin u,du-integral0^tusin u,du

Passo 5

Calculamos
integral0^tsin u,du=1-cos t
e
integral0^tusin u,du=-tcos t+sin t.
Substituindo essas expressões e simplificando, obtemos a forma final.

Resposta

f(t)=t-sin t

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