Utilize o Teorema da Convolução para encontrar a Transformada Inversa de Laplace de cada uma das seguintes funções:
F(s)=1s^2(s-3)

Passo 1

A questão pede a Transformada Inversa de Laplace de F(s)=1s^2(s-3) usando o Teorema da Convolução, que é conteúdo de Transformadas de Laplace e propriedades de convolução.

Passo 2

Identificamos duas funções cujas transformadas são simples: 1s^2 e 1s-3. Sabemos que:
L^-1tfrac1s^2(t)=t,
L^-1tfrac1s-3(t)=e^3t

Passo 3

Pelo Teorema da Convolução, a Inversa de F(s)=1s^2cdot1s-3 é a convolução de f1(t)=t com f2(t)=e^3t:
f(t)=integral0^tf1(tau),f2(t-tau),dtau=integral0^ttau,e^3(t-tau),dtau

Passo 4

Para calcular a integral, primeiro fatoramos e^3t:
f(t)=e^3tintegral0^ttau,e^-3tau,dtau
Usamos a fórmula integral x e^axdx=x e^axa-e^axa^2 com a=-3:
integral0^ttau e^-3taudtau=-tau e^-3tau3-e^-3tau9|0^t = -t e^-3t3-e^-3t9+19

Passo 5

Substituindo de volta em f(t):
f(t)=e^3tl(-t e^-3t3-e^-3t9+19r) = -t3-19+e^3t9

Passo 6

Agrupando termos, obtemos a forma final:
f(t)=e^3t-1-3t9

Resposta

f(t)=e^3t-1-3t9

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