Utilize o Teorema da Convolução para encontrar a Transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções:
f(t)=integral0^t sen(t-tau) cos tau d tau

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teorema da Convolução e encontrar a Transformada de Laplace da função
f(t)=∫₀ᵗ sin(t−τ)·cos τ dτ. O conteúdo aqui é Transformada de Laplace e Convolução, e vamos precisar saber que a Laplace de uma convolução é o produto das Laplaces.

Passo 2

Reconhecemos que f(t) é a convolução de g₁(t)=sin t com g₂(t)=cos t, pois
f(t)=(g₁*g₂)(t)=∫₀ᵗ g₁(t−τ)·g₂(τ) dτ.

Passo 3

Calculamos as transformadas individuais:
A Transformada de Laplace de sin t é
Lsin t(s)=1s^2+1,
e a de cos t é
Lcos t(s)=ss^2+1

Passo 4

Pelo Teorema da Convolução, a Laplace de f(t) é o produto dessas duas:
Lf(t)(s)=Lsin t(s)cdotLcos t(s)=1s^2+1cdotss^2+1=s(s^2+1)^2

Resposta

Lf(t)(s)=s(s^2+1)^2

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