Utilize o Teorema da Convolução para encontrar a Transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para usar o Teorema da Convolução e encontrar a Transformada de Laplace da função
f(t)=∫₀ᵗ sin(t−τ)·cos τ dτ. O conteúdo aqui é Transformada de Laplace e Convolução, e vamos precisar saber que a Laplace de uma convolução é o produto das Laplaces.
f(t)=∫₀ᵗ sin(t−τ)·cos τ dτ. O conteúdo aqui é Transformada de Laplace e Convolução, e vamos precisar saber que a Laplace de uma convolução é o produto das Laplaces.
Passo 2
Reconhecemos que f(t) é a convolução de g₁(t)=sin t com g₂(t)=cos t, pois
f(t)=(g₁*g₂)(t)=∫₀ᵗ g₁(t−τ)·g₂(τ) dτ.
f(t)=(g₁*g₂)(t)=∫₀ᵗ g₁(t−τ)·g₂(τ) dτ.
Passo 3
Calculamos as transformadas individuais:
A Transformada de Laplace de sin t é
A Transformada de Laplace de sin t é
e a de cos t é
Passo 4
Pelo Teorema da Convolução, a Laplace de f(t) é o produto dessas duas: