Utilize o Teorema da Convolução para encontrar a Transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções:
Passo 1
A função dada é f(t)=∫₀ᵗ (t–τ)e^τ dτ, que é justamente a convolução de g(t)=t com h(t)=e^t, e o conteúdo principal é o Teorema da Convolução para Transformada de Laplace.
O Teorema da Convolução diz que, se f(t)=(gh)(t)=∫₀ᵗ g(t–τ)h(τ)dτ, então =L{g(t))·L{h(t)) = G(s)·H(s).
Aqui identificamos g(t)=t e h(t)=e^t, pois f(t)=∫₀ᵗ (t–τ)e^τ dτ = (gh)(t).
O Teorema da Convolução diz que, se f(t)=(gh)(t)=∫₀ᵗ g(t–τ)h(τ)dτ, então
Aqui identificamos g(t)=t e h(t)=e^t, pois f(t)=∫₀ᵗ (t–τ)e^τ dτ = (gh)(t).
Passo 2
Vamos calcular G(s)=L{t):
Passo 3
Agora calculamos H(s)=L{e^t):
Passo 4
Finalmente, pela Convolução,