Utilize o Teorema da Convolução para encontrar a Transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções:
f(t)=integral0^t(t-tau) e^tau d tau

Passo 1

A função dada é f(t)=∫₀ᵗ (t–τ)e^τ dτ, que é justamente a convolução de g(t)=t com h(t)=e^t, e o conteúdo principal é o Teorema da Convolução para Transformada de Laplace.
O Teorema da Convolução diz que, se f(t)=(gh)(t)=∫₀ᵗ g(t–τ)h(τ)dτ, então Lf(t)=L{g(t))·L{h(t)) = G(s)·H(s).
Aqui identificamos g(t)=t e h(t)=e^t, pois f(t)=∫₀ᵗ (t–τ)e^τ dτ = (g
h)(t).

Passo 2

Vamos calcular G(s)=L{t):
G(s)=integral0^infty t e^-stdt=1s^2, Re(s)>0

Passo 3

Agora calculamos H(s)=L{e^t):
H(s)=integral0^infty e^t e^-stdt=integral0^infty e^-(s-1)tdt=1s-1, Re(s)>1

Passo 4

Finalmente, pela Convolução,

Resposta

1s^2(s-1), ;Re(s)>1

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