Utilize o Teorema da Divergência para calcular a integral integral duplaS F cdot d S em que
F=lang<= x^3+cos (y z), y^3, zrang<=
e S é a parte do cilindro x^2+y^2=4 compreendida entre os planos z=0 e z=2, com normal apontando para fora do cilindro.
Resp.: 48 pi.

Passo 1

A gente quer calcular o fluxo de vec F=lang<= x^3+cos(yz),,y^3,,zrang<= através da parte lateral do cilindro x^2+y^2=4 entre z=0 e z=2, com a normal apontando para fora. Para isso, vamos usar o Teorema da Divergência fechando o cilindro com as tampas nos planos z=0 e z=2 e subtrair o fluxo dessas tampas do resultado do volume encerrado.

Passo 2

Calculamos a divergência de vec F:
nablacdotvec F=partialpartial x(x^3+cos(yz))+partialpartial y(y^3)+partialpartial z(z)=3x^2+3y^2+1

Passo 3

Agora fazemos a integral de volume
integral triplaV(3x^2+3y^2+1),dV
usando coordenadas cilíndricas (r,theta,z), com 0<= r<=2, 0<=theta<=2pi, 0<= z<=2. Como x^2+y^2=r^2 e dV=r,dr,dtheta,dz,
integral triplaV(3r^2+1)r,dz,dr,dtheta=2integral0^2piintegral0^2(3r^2+1)r,dr,dtheta=56pi

Passo 4

Agora calculamos o fluxo pelas tampas:
  • Na base z=0, o vetor normal é -hat k e Fcdot(-hat k)=-z=0, então o fluxo é zero.
  • No topo z=2, o normal é +hat k e Fcdothat k=z=2, então
integral dupladisco2,dS=2cdotpicdot2^2=8pi

Passo 5

O fluxo pela parte lateral do cilindro é o total pelo volume menos o das tampas, ou seja
56pi-8pi=48pi

Resposta

(48\pi)

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