Utilize o Teorema da Divergência para calcular a integral
em que
e
é a parte do cilindro
compreendida entre os planos
e
, com normal apontando para fora do cilindro.
Resp.:
.
Resp.:
Passo 1
A gente quer calcular o fluxo de
através da parte lateral do cilindro
entre
e
, com a normal apontando para fora. Para isso, vamos usar o Teorema da Divergência fechando o cilindro com as tampas nos planos
e
e subtrair o fluxo dessas tampas do resultado do volume encerrado.
Passo 2
Calculamos a divergência de
:
Passo 3
Agora fazemos a integral de volume
usando coordenadas cilíndricas
, com
,
,
. Como
e
,
Passo 4
Agora calculamos o fluxo pelas tampas:
- Na base
, o vetor normal é e , então o fluxo é zero. - No topo
, o normal é e , então
Passo 5
O fluxo pela parte lateral do cilindro é o total pelo volume menos o das tampas, ou seja
Resposta
(48\pi)