Utilize o Teorema da Divergência para calcular a integral de superfície integralS integral F cdot d S, onde F(x, y, z)=(x+y, y-z, x z) e S é a superfície do sólido limitado pelo cilíndro x^2+y^2=1 e pelos planos z=0 e z=1.

Passo 1

A questão pede a integral de fluxo integral duplaSvec Fcdot dS para vec F(x,y,z)=(x+y,,y-z,,xz) sobre o sólido limitado pelo cilindro x^2+y^2=1 e planos z=0, z=1, usando o Teorema da Divergência.

Passo 2

Calculamos primeiro a divergência de vec F.
div,vec F =partialpartial x(x+y)+partialpartial y(y-z)+partialpartial z(xz) =1+1+x =2+x

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência temos
integral duplaSvec Fcdot dS =integral triplaE(2+x),dV,
onde E é o sólido em questão.

Passo 4

Para avaliar a integral, usamos coordenadas cilíndricas:
x=rcostheta, y=rsintheta, dV=r,dr,dtheta,dz,
com rin[0,1], thetain[0,2pi], zin[0,1].

Passo 5

A integral vira
integral0^2piintegral0^1integral0^1(2+rcostheta),r,dz,dr,dtheta
Integrando em z (de 0 a 1) dá um fator 1 e sobra
integral0^2piintegral0^1(2r+r^2costheta),dr,dtheta

Passo 6

Agora integramos em r:
integral0^12r,dr=1, integral0^1r^2,dr=tfrac13,
logo o integrando em theta é 1+tfrac13costheta.

Passo 7

Por fim, integramos em theta:
integral0^2pil(1+tfrac13costhetar),dtheta =2pi+tfrac13integral0^2picostheta,dtheta =2pi+0 =2pi

Resposta

2pi

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