Calcule o comprimento exato da curva polar
, onde
.
Passo 1
Nesse exercício, vamos calcular o comprimento da curva dada em coordenadas polares por r=2(1+cos θ) para 0≤θ≤π. O conteúdo envolve comprimento de arco em coordenadas polares, e precisaremos usar a fórmula
Passo 2
Primeiro, calculamos a derivada de r em relação a θ. Como r=2(1+cos θ), temos
Passo 3
Agora substituímos r e dr/dθ na fórmula do comprimento e simplificamos o radicando. Obtemos
Passo 4
Para continuar, usamos a identidade trigonométrica 1+cos θ=2 cos^2(θ/2). Assim,
e o comprimento vira
Passo 5
Basta agora avaliar a integral:
Logo,
Resposta
8