Calcule o comprimento exato da curva polar r=2(1+cos theta), onde 0 <= theta <= pi.

Passo 1

Nesse exercício, vamos calcular o comprimento da curva dada em coordenadas polares por r=2(1+cos θ) para 0≤θ≤π. O conteúdo envolve comprimento de arco em coordenadas polares, e precisaremos usar a fórmula
L=integralθ1^θ2raizr(θ)^2+l(drdθr)^2,dθ

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada de r em relação a θ. Como r=2(1+cos θ), temos
drdθ=-2,sinθ

Passo 3

Agora substituímos r e dr/dθ na fórmula do comprimento e simplificamos o radicando. Obtemos
L=integral0^πraiz[2(1+cosθ)]^2+(-2sinθ)^2,dθ =integral0^πraiz4(1+2cosθ+cos^2θ)+4sin^2θ,dθ =integral0^πraiz4(2+2cosθ),dθ =2integral0^πraiz2(1+cosθ),dθ

Passo 4

Para continuar, usamos a identidade trigonométrica 1+cos θ=2 cos^2(θ/2). Assim,
raiz1+cosθ=raiz2,l|cos(θ/2)r|=raiz2,cos(θ/2)(0≤θ≤π)
e o comprimento vira
L=2integral0^πraiz2,raiz2,cos(θ/2),dθ=4integral0^πcos(θ/2),dθ

Passo 5

Basta agora avaliar a integral:
integral0^πcos(θ/2),dθ=l[2sin(θ/2)r]0^π=2sinl(π/2r)-0=2
Logo,
L=4times2=8

Resposta

8

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