Q 104 Determine as constantes a e b de modo que f seja derivável em x=1, sendo f(x)=lla x^2+b, & x <= 1 x^-1, & x>1.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= a,x^2+b,&x<=1, x^-1,&x>1,
e pede a e b de modo que f seja derivável em x=1. Para isso vamos usar as condições de continuidade em x=1 e de igualdade das derivadas laterais em x=1.

Passo 2

Condição de continuidade em x=1: devemos ter
limxto1^-f(x)=limxto1^+f(x)
Pela definição,
limxto1^-f(x)=acdot1^2+b=a+b,
limxto1^+f(x)=1^-1=1
Logo a continuidade exige
a+b=1

Passo 3

Condição de derivabilidade em x=1: as derivadas laterais devem coincidir,
f'-(1)=f'+(1)
Para x<1, f(x)=a,x^2+b e
f'-(x)=2a,xLongrightarrow f'-(1)=2a
Para x>1, f(x)=x^-1 e
f'+(x)=-x^-2Longrightarrow f'+(1)=-1
Portanto
2a=-1Longrightarrow a=-tfrac12

Passo 4

Substituindo a=-tfrac12 na condição de continuidade a+b=1, obtemos
-tfrac12 + b=1 Longrightarrow b=1+tfrac12=tfrac32

Resposta

a=-tfrac12 e b=tfrac32.

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