Utilize o Teorema de Green para calcular a integral de linha
, onde
é a circunferência
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral que queremos é
, onde
é a circunferência
. Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha sobre curvas fechadas a integrais duplas sobre a região que essa curva delimita.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele nos diz que, para um campo vetorial
, a integral de linha ao redor de uma curva fechada
é igual à integral dupla sobre a região
limitada por
de
. Matematicamente:
Passo 3
No nosso caso, o campo vetorial
é dado por
e
. Vamos identificar essas partes:
Passo 4
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais
e
:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
Então, a integral dupla fica:
Passo 6
Agora, precisamos calcular a área da região
limitada pela circunferência
. Essa é uma circunferência de raio
, então a área
é:
Passo 7
Voltando à nossa integral dupla, temos:
Resposta
Portanto, o valor da integral de linha é
.