Utilize o Teorema de Green para calcular a integral de linha ointc(x-y) d x+(x+y) d y, onde c é a circunferência x^2+y^2=9.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral que queremos é ointc(x - y),dx + (x + y),dy, onde c é a circunferência x^2 + y^2 = 9. Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha sobre curvas fechadas a integrais duplas sobre a região que essa curva delimita.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele nos diz que, para um campo vetorial F = M,i + N,j, a integral de linha ao redor de uma curva fechada c é igual à integral dupla sobre a região D limitada por c de (partial Npartial x - partial Mpartial y),dA. Matematicamente:
ointc M,dx + N,dy = integral duplaD (partial Npartial x - partial Mpartial y) ,dA

Passo 3

No nosso caso, o campo vetorial F é dado por M = x - y e N = x + y. Vamos identificar essas partes:
M = x - y N = x + y

Passo 4

Agora, precisamos calcular as derivadas parciais partial Npartial x e partial Mpartial y:
partial Npartial x = partialpartial x(x + y) = 1 partial Mpartial y = partialpartial y(x - y) = -1

Passo 5

Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
partial Npartial x - partial Mpartial y = 1 - (-1) = 2
Então, a integral dupla fica:
integral duplaD 2 ,dA

Passo 6

Agora, precisamos calcular a área da região D limitada pela circunferência x^2 + y^2 = 9. Essa é uma circunferência de raio r = 3, então a área A é:
A = pi r^2 = pi (3)^2 = 9pi

Passo 7

Voltando à nossa integral dupla, temos:
integral duplaD 2 ,dA = 2 times A = 2 times 9pi = 18pi

Resposta

Portanto, o valor da integral de linha é 18pi.

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