Utilize o Teorema da Transformada da Convolução para calcular:
L^-1s(s^2+1)^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular
L^-1!ls(s^2+1)^2r
usando o Teorema da Transformada da Convolução, que diz que se
F(s)=Lf(t), G(s)=Lg(t),
então
L^-1F(s),G(s)=(f*g)(t)=integral0^tf(tau),g(t-tau),dtau

Passo 2

Vamos escrever
s(s^2+1)^2=ss^2+1;cdot;1s^2+1
Reconhecemos
Lcos t=ss^2+1, Lsin t=1s^2+1
Logo, no tempo temos
f(t)=cos t, g(t)=sin t

Passo 3

Aplicando a convolução, obtemos
L^-1!ltfracs(s^2+1)^2r =integral0^tcos(tau),sinl(t-taur),dtau

Passo 4

Para integrar, usamos a identidade
sinl(t-taur)=sin tcostau-cos tsintau,
portanto o integrando vira
costaul(sin tcostau-cos tsintaur) =sin tcos^2!tau-cos t,sintaucostau
Então
integral0^tcostau,sin(t-tau),dtau =sin t!integral0^tcos^2tau,dtau -cos t!integral0^tsintaucostau,dtau
Sabemos que
integral0^tcos^2tau,dtau =t2+sin2t4, integral0^tsintaucostau,dtau =1-cos2t4

Passo 5

Substituindo,
integral0^tcostau,sin(t-tau),dtau =sin tl(tfract2+tfracsin2t4r) -cos tl(tfrac1-cos2t4r)
Fazendo as manipulações trigonométricas e juntando termos, tudo se reduz a
t2,sin t

Resposta

L^-1!ltfracs(s^2+1)^2r =t2,sin t

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