Discuta a continuidade das seguintes funções:
f(x, y)= x^3+y^3x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= dfracx^3+y^3x^2+y^2,&se (x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&se (x,y)=(0,0),
e pede para discutir onde ela é contínua. O que precisamos lembrar é que quocientes de polinômios são contínuos onde o denominador não é zero, e no ponto (0,0) devemos verificar se
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)=0.
]

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0) temos x^2+y^2neq0, e f é quociente de polinômios x^3+y^3 e x^2+y^2. Logo, f é contínua em todo ponto (x,y)neq(0,0).

Passo 3

Agora analisamos o limite em (0,0). Em coordenadas polares, escrevemos
x = rcostheta, y = rsintheta,
com r>0. Então, para (x,y)neq(0,0),
x^3+y^3x^2+y^2 = r^3(cos^3theta+sin^3theta)r^2 = r,l(cos^3theta+sin^3thetar)

Passo 4

Note que
l|cos^3theta+sin^3thetar| <= |cos^3theta|+|sin^3theta| <= |costheta|+|sintheta|<=2
Logo
l|x^3+y^3x^2+y^2r| = r,l|cos^3theta+sin^3thetar| <= 2r
Como rto0 implica 2rto0, deduzimos
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0=f(0,0).

Resposta

A função f é contínua em todo R^2.

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