Utilize o teste da comparação de limite para verificar se as séries convergem ou divergem
(8 pts) sumn=1^infty e^1 / nn

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente usar o teste da comparação de limite para verificar se a série sumn=1^infty e^1 / nn converge ou diverge. A matéria envolvida aqui é séries numéricas e mais especificamente os testes de convergência. Para resolver, vamos precisar entender como funciona o teste da comparação de limite e saber escolher uma série para comparar que já sabemos se converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da nossa série, que é an = e^1/nn. Nosso objetivo é comparar essa série com outra série bn que seja mais simples e cuja convergência ou divergência já seja conhecida.

Passo 3

Observando an, percebemos que e^1/n pode ser aproximado quando n é grande. Sabemos que e^x approx 1 + x quando x é próximo de zero. Então, para x = 1n, temos e^1/n approx 1 + 1n.

Passo 4

Substituindo essa aproximação, nosso termo an fica aproximadamente:
an approx 1 + 1nn = 1n + 1n^2
Para simplificar, vamos considerar apenas o primeiro termo 1n, já que 1n^2 é menor e não vai influenciar o teste da comparação de limite.

Passo 5

Vamos escolher a série bn = 1n para comparar, que é conhecida como a série harmônica. Sabemos que a série harmônica diverge.

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite da razão entre an e bn quando n tende ao infinito:
limn to infty anbn = limn to infty e^1/nn1n = limn to infty e^1/n = e^0 = 1
Esse limite é um número finito e diferente de zero.

Passo 7

De acordo com o teste da comparação de limite, se limn to infty anbn = c, onde c é um número positivo e finito, então as séries an e bn têm o mesmo comportamento em termos de convergência ou divergência.

Passo 8

Como a série bn = 1n diverge e o limite da razão é 1 (positivo e finito), concluímos que a série an = e^1/nn também diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty e^1 / nn diverge.

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