Utilize o teste da comparação de limite para verificar se as séries convergem ou divergem
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente usar o teste da comparação de limite para verificar se a série
converge ou diverge. A matéria envolvida aqui é séries numéricas e mais especificamente os testes de convergência. Para resolver, vamos precisar entender como funciona o teste da comparação de limite e saber escolher uma série para comparar que já sabemos se converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da nossa série, que é
. Nosso objetivo é comparar essa série com outra série
que seja mais simples e cuja convergência ou divergência já seja conhecida.
Passo 3
Observando
, percebemos que
pode ser aproximado quando
é grande. Sabemos que
quando
é próximo de zero. Então, para
, temos
.
Passo 4
Substituindo essa aproximação, nosso termo
fica aproximadamente:
Para simplificar, vamos considerar apenas o primeiro termo
, já que
é menor e não vai influenciar o teste da comparação de limite.
Passo 5
Vamos escolher a série
para comparar, que é conhecida como a série harmônica. Sabemos que a série harmônica diverge.
Passo 6
Agora, vamos calcular o limite da razão entre
e
quando
tende ao infinito:
Esse limite é um número finito e diferente de zero.
Passo 7
De acordo com o teste da comparação de limite, se
, onde
é um número positivo e finito, então as séries
e
têm o mesmo comportamento em termos de convergência ou divergência.
Passo 8
Como a série
diverge e o limite da razão é 1 (positivo e finito), concluímos que a série
também diverge.
Resposta
A série
diverge.