Utilize o teste da de Leibniz para verificar se as séries convergem ou divergem
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para usarmos o Teste de Leibniz para verificar se a série
converge ou diverge. O Teste de Leibniz é usado para analisar séries alternadas, aquelas que têm termos positivos e negativos alternando de sinal. Para aplicar esse teste, vamos precisar entender se os termos da série estão diminuindo e se eles tendem a zero conforme
aumenta.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parte não alternada da série, que chamamos de
. No nosso caso:
Passo 3
O Teste de Leibniz diz que, para que uma série alternada
convirja, duas condições devem ser satisfeitas:
- Os termos
devem ser decrescentes, ou seja, para todo a partir de algum ponto. - O limite dos termos deve ser zero, ou seja,
.
Vamos verificar cada uma dessas condições.
Passo 4
Primeira condição: os termos são decrescentes?
Vamos analisar
.
Calculando
:
Agora, vamos comparar
com
:
Queremos saber se
:
Fazendo uma comparação rápida, percebemos que, conforme
cresce, o numerador e denominador de ambas as frações aumentam, mas a taxa de crescimento do numerador é maior (3 vs 2). Isso indica que
tende a aumentar, não a diminuir. Portanto, os termos não são decrescentes.
Passo 5
Segunda condição: o limite dos termos é zero?
Vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
O limite não é zero, é $ \frac{3}{2} $, que é diferente de zero.
Passo 6
Como uma das condições do Teste de Leibniz não é satisfeita (especificamente, o limite dos termos não é zero), podemos concluir que a série não converge pelo Teste de Leibniz.
Resposta
A série
diverge.