Utilize o teste da de Leibniz para verificar se as séries convergem ou divergem
(8 pts) sumn=1^infty(-1)^n 3 n-12 n+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para usarmos o Teste de Leibniz para verificar se a série sumn=1^infty(-1)^n 3n - 12n + 1 converge ou diverge. O Teste de Leibniz é usado para analisar séries alternadas, aquelas que têm termos positivos e negativos alternando de sinal. Para aplicar esse teste, vamos precisar entender se os termos da série estão diminuindo e se eles tendem a zero conforme n aumenta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parte não alternada da série, que chamamos de an. No nosso caso:
an = 3n - 12n + 1

Passo 3

O Teste de Leibniz diz que, para que uma série alternada sum (-1)^n an convirja, duas condições devem ser satisfeitas:
  1. Os termos an devem ser decrescentes, ou seja, an+1 < an para todo n a partir de algum ponto.
  2. O limite dos termos deve ser zero, ou seja, limn to infty an = 0.
Vamos verificar cada uma dessas condições.

Passo 4

Primeira condição: os termos são decrescentes?
Vamos analisar an = 3n - 12n + 1.
Calculando an+1:
an+1 = 3(n + 1) - 12(n + 1) + 1 = 3n + 3 - 12n + 2 + 1 = 3n + 22n + 3
Agora, vamos comparar an+1 com an:
Queremos saber se an+1 < an:
3n + 22n + 3 < 3n - 12n + 1
Fazendo uma comparação rápida, percebemos que, conforme n cresce, o numerador e denominador de ambas as frações aumentam, mas a taxa de crescimento do numerador é maior (3 vs 2). Isso indica que an tende a aumentar, não a diminuir. Portanto, os termos não são decrescentes.

Passo 5

Segunda condição: o limite dos termos é zero?
Vamos calcular o limite de an quando n tende ao infinito:
limn to infty 3n - 12n + 1 = limn to infty 3 - 1n2 + 1n = 32
O limite não é zero, é $ \frac{3}{2} $, que é diferente de zero.

Passo 6

Como uma das condições do Teste de Leibniz não é satisfeita (especificamente, o limite dos termos não é zero), podemos concluir que a série não converge pelo Teste de Leibniz.

Resposta

A série sumn=1^infty(-1)^n 3n - 12n + 1 diverge.

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