Utilize o teste da integral para determinar se as séries converges ou divergem. Certifique-se de que as condições do teste da integral sejam satisfeitas. Justifique sua resposta
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge usando o teste da integral. Vamos considerar a função
e seguir dois passos fundamentais: (i) verificar que
é positiva, contínua e decrescente em
e (ii) calcular a integral imprópria
Passo 2
Para
temos
, logo
. A continuidade de
em
é imediata, pois o denominador nunca zera. Para ver que
é decrescente, computamos a derivada:
para todo
. Assim,
satisfaz as hipóteses do teste da integral.
Passo 3
Calculamos a integral imprópria:
Esse valor é finito, portanto a integral converge.
Passo 4
Pelo teste da integral, como
converge e
é positiva, contínua e decrescente em
, a série
também converge.
Resposta
A série
é convergente.