Utilize o teste da integral para determinar se as séries converges ou divergem. Certifique-se de que as condições do teste da integral sejam satisfeitas. Justifique sua resposta
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+4}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+4}
converge ou diverge usando o teste da integral. Vamos considerar a função
f(x)=\frac{1}{x^{2}+4}
e seguir dois passos fundamentais: (i) verificar que f é positiva, contínua e decrescente em [1,\infty) e (ii) calcular a integral imprópria
\int_{1}^{\infty}f(x)\,dx.

Passo 2

Para x\ge1 temos x^{2}+4>0, logo f(x)=1/(x^{2}+4)>0. A continuidade de f em [1,\infty) é imediata, pois o denominador nunca zera. Para ver que f é decrescente, computamos a derivada:
f'(x) =\frac{d}{dx}\Bigl((x^{2}+4)^{-1}\Bigr) =-1\cdot(x^{2}+4)^{-2}\cdot2x =-\frac{2x}{(x^{2}+4)^{2}}<0
para todo x>0. Assim, f satisfaz as hipóteses do teste da integral.

Passo 3

Calculamos a integral imprópria:
\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}+4} =\lim_{t\to\infty}\int_{1}^{t}\frac{dx}{x^{2}+2^{2}} =\lim_{t\to\infty}\Bigl[\tfrac{1}{2}\arctan\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\Bigr]_{1}^{t} =\frac{1}{2}\Bigl(\frac{\pi}{2}-\arctan\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)\Bigr).
Esse valor é finito, portanto a integral converge.

Passo 4

Pelo teste da integral, como \int_{1}^{\infty}f(x)\,dx converge e f é positiva, contínua e decrescente em [1,\infty), a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+4}
também converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+4} é convergente.

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