Seja o campo definido pela função vetorial vec{f}(x, y, z). Se constituir um campo conservativo, determine a respectiva função potencial.
vec{f}=2 x \vec{i}+2 y \vec{j}+2 z \vec{k}

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
\vec{f}(x,y,z)=2x\,\vec{i}+2y\,\vec{j}+2z\,\vec{k}
e pede que, se ele for conservativo, encontremos uma função potencial \varphi(x,y,z) tal que \nabla\varphi=\vec{f}. Para isso precisamos verificar que \vec{f} é conservativo (isto é, \nabla\times\vec{f}=0 em \mathbb{R}^3, que é simplesmente conexo) e então integrar as componentes de \vec{f}.

Passo 2

Calcular o rotacional de \vec{f}:
\nabla\times\vec{f} =\begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\\ \partial/\partial x&\partial/\partial y&\partial/\partial z\\\\ 2x&2y&2z \end{vmatrix}
A componente em \vec{i} é \partial(2z)/\partial y-\partial(2y)/\partial z=0-0=0. Analogamente as demais são todas zero. Logo
\nabla\times\vec{f}=\vec{0},
e como o domínio é \mathbb{R}^3 (simplesmente conexo), \vec{f} é conservativo.

Passo 3

Procuramos \varphi tais que
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=2x,\quad \frac{\partial\varphi}{\partial y}=2y,\quad \frac{\partial\varphi}{\partial z}=2z.
Integramos a primeira igualdade em x:
\varphi(x,y,z)=\int 2x\,dx = x^2 + H(y,z),
onde H é função ainda indeterminada de y,z.

Passo 4

Usamos a condição \partial\varphi/\partial y=2y. Como
\frac{\partial\varphi}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^2+H(y,z)\bigr) =H_y(y,z),
temos H_y(y,z)=2y. Integrando em y:
H(y,z)=\int2y\,dy = y^2 + G(z),
com G função de z.
Agora usamos \partial\varphi/\partial z=2z. Como
\frac{\partial\varphi}{\partial z} =\frac{\partial}{\partial z}\bigl(x^2+y^2+G(z)\bigr) =G'(z),
temos G'(z)=2z. Integramos em z:
G(z)=\int2z\,dz = z^2 + C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

\varphi(x,y,z)=x^2 + y^2 + z^2 + C,
que de fato satisfaz \nabla\varphi=\vec{f}.

Exercícios relacionados