Utilize o teste da integral para determinar se as séries converges ou divergem. Certifique-se de que as condições do teste da integral sejam satisfeitas. Justifique sua resposta
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
usando o teste da integral. O conteúdo é o Teste da Integral para séries de termos positivos, que exige associar à série uma função contínua, positiva e eventualmente decrescente em
e verificar a convergência do integral impróprio
Passo 2
Definimos
. Observamos que:
-
para todo . -
é contínua em . - Para verificar a monotonicidade, computamos a derivada:
Logo,
sempre que
. Assim,
é decrescente em
. O que basta, pois finitos termos iniciais não alteram a convergência da série.
Passo 3
Aplicamos o teste da integral na cauda da série (por exemplo, a partir de
). Estudamos
Para ver que este integral converge, basta notar que
E este último é uma integral de Gamma:
que é finita.
Passo 4
Como
converge, o teste da integral garante que a série
converge. Acrescentar ou retirar um número finito de termos (os de
até
) não altera a convergência.
Resposta
A série
converge, por aplicação do teste da integral.