Utilize o teste da integral para determinar se as séries converges ou divergem. Certifique-se de que as condições do teste da integral sejam satisfeitas. Justifique sua resposta
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{e^{n / 3}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{e^{n/3}}
usando o teste da integral. O conteúdo é o Teste da Integral para séries de termos positivos, que exige associar à série uma função contínua, positiva e eventualmente decrescente em [1,\infty) e verificar a convergência do integral impróprio
\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx.

Passo 2

Definimos f(x)=x^{2}e^{-x/3}. Observamos que:
  1. f(x)>0 para todo x\ge1.
  2. f é contínua em [1,\infty).
  3. Para verificar a monotonicidade, computamos a derivada:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}e^{-x/3}\bigr) =e^{-x/3}\Bigl(2x - \frac{x^{2}}{3}\Bigr) =e^{-x/3}\,x\Bigl(2-\tfrac{x}{3}\Bigr).
Logo, f'(x)<0 sempre que x>6. Assim, f é decrescente em [6,\infty). O que basta, pois finitos termos iniciais não alteram a convergência da série.

Passo 3

Aplicamos o teste da integral na cauda da série (por exemplo, a partir de n=6). Estudamos
\int_{6}^{\infty} x^{2}e^{-x/3}\,dx.
Para ver que este integral converge, basta notar que
\int_{6}^{\infty} x^{2}e^{-x/3}\,dx \;\le\; \int_{0}^{\infty} x^{2}e^{-x/3}\,dx.
E este último é uma integral de Gamma:
\int_{0}^{\infty} x^{2}e^{-x/3}\,dx =\int_{0}^{\infty} x^{2}e^{-(1/3)x}\,dx =2!\,\bigl(3\bigr)^{3} =2\cdot27 =54,
que é finita.

Passo 4

Como \int_{6}^{\infty}x^{2}e^{-x/3}\,dx converge, o teste da integral garante que a série
\sum_{n=6}^{\infty} \tfrac{n^{2}}{e^{n/3}} converge. Acrescentar ou retirar um número finito de termos (os de n=1 até 5) não altera a convergência.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}}{e^{n/3}} converge, por aplicação do teste da integral.

Exercícios relacionados