Questão 9: Encontre a série de Maclaurin de f(x)=x \cos \left(\frac{1}{2} x^{2}\right) e o raio de convergência. Escreva na sua forma reduzida.

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de
f(x)=x\cos\!\Bigl(\tfrac12x^2\Bigr)
e o raio de convergência. Vamos usar a série de Maclaurin de \cos t e substituí-la em t=\tfrac12x^2, depois multiplicar por x.

Passo 2

Recordando a expansão de Maclaurin de \cos t:
\cos t = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \,\frac{t^{2n}}{(2n)!}.
Aqui tomamos t=\tfrac12x^2, logo
\cos\!\Bigl(\tfrac12x^2\Bigr) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \,\frac{\bigl(\tfrac12x^2\bigr)^{2n}}{(2n)!} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \,\frac{(1/2)^{2n}\,x^{4n}}{(2n)!}.

Passo 3

Multiplicamos por x para obter f(x):
f(x)=x\cos\!\Bigl(\tfrac12x^2\Bigr) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \,\frac{(1/2)^{2n}\,x^{4n+1}}{(2n)!}.

Passo 4

Simplificando (1/2)^{2n}=1/4^n, ficamos com a forma reduzida
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \,\frac{x^{4n+1}}{4^n\,(2n)!}.

Passo 5

Para o raio de convergência, aplique o teste da razão ao termo geral
a_n = \frac{(-1)^n\,x^{4n+1}}{4^n\,(2n)!}.
Calculando
\lim_{n\to\infty}\Bigl|\tfrac{a_{n+1}}{a_n}\Bigr| =\lim_{n\to\infty}\frac{|x|^{4n+5}/\bigl(4^{n+1}(2n+2)!\bigr)}{|x|^{4n+1}/\bigl(4^n(2n)!\bigr)} =\lim_{n\to\infty}\frac{|x|^4}{4\,(2n+2)(2n+1)}=0,
que é menor que 1 para todo x. Portanto o raio de convergência é infinito.

Resposta

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \,\frac{x^{4n+1}}{4^n\,(2n)!}, \quad R=\infty.

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