Vamos resolver em dois intervalos: 0\le t<3\pi e t\ge3\pi, encontrando primeiro a solução particular e homogênea em cada trecho e depois impondo continuidade em t=3\pi.
Passo 2
No intervalo 0\le t<3\pi, temos f(t)=1.
A equação homogênea é
y_h''+y_h=0\quad\Longrightarrow\quad y_h(t)=A\cos t + B\sin t.
Uma particular constante que satisfaça y''+y=1 é y_p(t)=1, pois 0+1=1.
Logo a solução geral para 0\le t<3\pi é