Resolva os PVI’s:
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+y=f(t) \\\ y(0)=0 \\\ y^{\prime}(0)=1\end{array}\right.\) onde \(f(t)= \begin{cases}1, & 0 \leq t<3 \pi \\\\ 0, & t \geqslant 3 \pi\end{cases}

Passo 1

O problema é um PVI para o oscilador harmônico forçado
y'' + y = f(t),
com condições iniciais
y(0)=0,\quad y'(0)=1,
onde
f(t)= \begin{cases} 1,&0\le t<3\pi,\\\\ 0,&t\ge3\pi. \end{cases}
Vamos resolver em dois intervalos: 0\le t<3\pi e t\ge3\pi, encontrando primeiro a solução particular e homogênea em cada trecho e depois impondo continuidade em t=3\pi.

Passo 2

No intervalo 0\le t<3\pi, temos f(t)=1.
A equação homogênea é
y_h''+y_h=0\quad\Longrightarrow\quad y_h(t)=A\cos t + B\sin t.
Uma particular constante que satisfaça y''+y=1 é y_p(t)=1, pois 0+1=1.
Logo a solução geral para 0\le t<3\pi é
y_1(t)=A\cos t+B\sin t +1.

Passo 3

Aplicando as condições em t=0:
y_1(0)=A\cdot1 + B\cdot0 +1 =0 \quad\Longrightarrow\quad A=-1,
y_1'(t) = -A\sin t + B\cos t +0 \quad\Longrightarrow\quad y_1'(0)=B=1.
Portanto
y_1(t) = -\cos t + \sin t + 1,\quad 0\le t<3\pi.

Passo 4

Para ligar com o segundo intervalo, calculamos em t=3\pi:
y_1(3\pi) = -\cos(3\pi)+\sin(3\pi)+1 = -(-1)+0+1 =2,
y_1'(t)=\sin t+\cos t \quad\Longrightarrow\quad y_1'(3\pi)=0+(-1)=-1.
Esses valores serão as “condições iniciais” para o trecho seguinte.

Passo 5

No intervalo t\ge3\pi, agora f(t)=0 e a equação vira
y''+y=0 \quad\Longrightarrow\quad y_2(t)=C\cos t + D\sin t.
Impondo continuidade em t=3\pi:
y_2(3\pi)=C\cos(3\pi)+D\sin(3\pi)=-C = 2 \quad\Longrightarrow\quad C=-2,
y_2'(t)=-C\sin t + D\cos t \quad\Longrightarrow\quad y_2'(3\pi)= -D = -1 \quad\Longrightarrow\quad D=1.
Logo
y_2(t) = -2\cos t + \sin t,\quad t\ge3\pi.

Resposta

y(t)= \begin{cases} -\cos t + \sin t + 1, & 0 \le t < 3\pi,\\\\ -2\cos t + \sin t, & t \ge 3\pi. \end{cases}

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