Usando o teste da diferença de termos, mostre que as sequências abaixo são monótonas.
b) n4 n-1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a sequência an definida por
an = n4n-1
é monótona usando o teste da diferença de termos. Vamos calcular o sinal de
an+1-an
para decidir se a sequência é crescente ou decrescente.

Passo 2

Escrevendo
an+1 = n+14(n+1)-1 = n+14n+3
temos
an+1-an = n+14n+3 - n4n-1

Passo 3

Para somar as frações, usamos o mesmo denominador (4n+3)(4n-1). O numerador fica
(n+1)(4n-1) ;-; n(4n+3)
Expandindo,
(n+1)(4n-1) = 4n^2 +3n -1, n(4n+3) = 4n^2 +3n,
logo o numerador é
4n^2+3n-1 - (4n^2+3n) = -1

Passo 4

Portanto
an+1-an = -1(4n+3)(4n-1)
Como (4n+3)(4n-1)>0 para todo n>=1, segue que an+1-an<0. Assim, a sequência é estritamente decrescente.

Resposta

A sequência n4n-1 é monótona decrescente.

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