Utilize o teste da razão ou da raiz para determinar se as seguintes séries são convergentes:
sum n^2(2 n-1)!

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série
sumn=1^infty n^2(2n-1)!
usando o teste da razão (ou da raiz). Como os termos são positivos, basta calcular
L = limntoinftyan+1an
e verificar se L<1.

Passo 2

Definimos
an = n^2(2n-1)!
Pelo teste da razão, consideramos
an+1an

Passo 3

Calculamos a razão entre termos consecutivos:
an+1an =(n+1)^2(2(n+1)-1)!n^2(2n-1)! =(n+1)^2n^2,(2n-1)!(2n+1)! =(n+1)^2n^2,(2n+1)(2n)

Passo 4

Avaliaremos o limite quando ntoinfty:
L = limntoinftyan+1an =limntoinfty(n+1)^2n^2,(2n+1)(2n) =limntoinftyn^2+2n+14n^4+2n^3 =0
Como L=0<1, o teste da razão garante convergência absoluta.

Resposta

A série sumn=1^inftyn^2(2n-1)! converge (absolutamente).

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